Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Решить по методу гаусса. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников |
Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера ). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса . Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными . Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x 2 из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса , продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x n . После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x n ; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x n –1 и т.д. Последним находим x 1 из первого уравнения. Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу: называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы. Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса: Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы: получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца: Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя! Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной: Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 3 = –1; из третьего x 4 = –2, из второго x 2 = 2 и из первого уравнения x 1 = 1. В матричном виде ответ записывается в виде Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна. Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса: Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы Записываем упрощенную систему уравнений: Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна . à Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса: Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы: В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу: Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными , будут x 3 и x 4 . Тогда Полагая x 3 = 2a и x 4 = b , получим x 2 = 1–a и x 1 = 2b –a ; или в матричном виде Записанное подобным образом решение называется общим , поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. à Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть нам требуется найти решение системы из n
линейных уравнений с n
неизвестными переменными Суть метода Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных переменных: сначала исключается x 1 из всех уравнений системы, начиная со второго, далее исключается x 2 из всех уравнений, начиная с третьего, и так далее, пока в последнем уравнении останется только неизвестная переменная x n . Такой процесс преобразования уравнений системы для последовательного исключения неизвестных переменных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода метода Гаусса из последнего уравнения находитсяx n , с помощью этого значения из предпоследнего уравнения вычисляется x n-1 , и так далее, из первого уравнения находится x 1 . Процесс вычисления неизвестных переменных при движении от последнего уравнения системы к первому называется обратным ходом метода Гаусса . Кратко опишем алгоритм исключения неизвестных переменных. Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго. Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид Далее приступаем к исключению неизвестной x 3
, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения. Пример. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса. Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса. О методеПри решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.
Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и посмотрите его решение онлайн. Пусть дана система , ∆≠0. (1)Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных. Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей , из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a 11 ≠0 (ведущий элемент) разделим на a 11 первое уравнение. Получим
Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы. Назначение метода ГауссаМетод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.Виды метода Гаусса
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах. Пример решения методом Гаусса
Пример решения методом Жордано-Гаусса
Разрешающий элемент равен (3). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Разрешающий элемент равен (-4). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
Ответ : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1 Реализация метода ГауссаМетод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi , а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме .Использование метода ГауссаПрименение метода Гаусса в теории игрВ теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравненийДля поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программированииВ линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:
Краткий обзор статьи. Сначала дадим необходимые определения и введем обозначения. Далее опишем алгоритм метода Гаусса для простейшего случая, то есть, для систем линейных алгебраических уравнений, количество уравнений в которых совпадает с количеством неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. При решении таких систем уравнений наиболее отчетливо видна суть метода Гаусса, которая заключается в последовательном исключении неизвестных переменных. Поэтому метод Гаусса также называют методом последовательного исключения неизвестных. Покажем подробные решения нескольких примеров. В заключении рассмотрим решение методом Гаусса систем линейных алгебраических уравнений, основная матрица которых либо прямоугольная, либо вырожденная. Решение таких систем имеет некоторые особенности, которые мы подробно разберем на примерах. Навигация по странице. Основные определения и обозначения.Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n ): Где - неизвестные переменные, - числа (действительные или комплексные), - свободные члены. Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной , в противном случае – неоднородной . Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ . Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной , в противном случае – несовместной . Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной . Если решений больше одного, то система называется неопределенной . Говорят, что система записана в координатной форме
, если она имеет вид Эта система в матричной форме записи имеет вид , где - основная матрица СЛАУ, - матрица столбец неизвестных переменных, - матрица свободных членов. Если к матрице А
добавить в качестве (n+1)-ого
столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу
системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т
, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть, Квадратная матрица А называется вырожденной , если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной . Следует оговорить следующий момент. Если с системой линейных алгебраических уравнений произвести следующие действия
то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений). Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:
Теперь можно переходить к описанию метода Гаусса. Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основная матрица системы невырожденная, методом Гаусса.Как бы мы поступили в школе, если бы получили задание найти решение системы уравнений . Некоторые сделали бы так. Заметим, что прибавив к левой части второго уравнения левую часть первого, а к правой части - правую, можно избавиться от неизвестных переменных x 2
и x 3
и сразу найти x 1
: Подставляем найденное значение x 1 =1
в первое и третье уравнение системы: Если умножить обе части третьего уравнения системы на -1
и прибавить их к соответствующим частям первого уравнения, то мы избавимся от неизвестной переменной x 3
и сможем найти x 2
: Подставляем полученное значение x 2 =2
в третье уравнение и находим оставшуюся неизвестную переменную x 3
: Другие поступили бы иначе. Разрешим первое уравнение системы относительно неизвестной переменной x 1
и подставим полученное выражение во второе и третье уравнение системы, чтобы исключить из них эту переменную: Теперь разрешим второе уравнение системы относительно x 2
и подставим полученный результат в третье уравнение, чтобы исключить из него неизвестную переменную x 2
: Из третьего уравнения системы видно, что x 3 =3 . Из второго уравнения находим , а из первого уравнения получаем . Знакомые способы решения, не правда ли? Самое интересное здесь то, что второй способ решения по сути и есть метод последовательного исключения неизвестных, то есть, метод Гаусса. Когда мы выражали неизвестные переменные (сначала x 1 , на следующем этапе x 2 ) и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Исключение мы проводили до того момента, пока в последнем уравнении не осталась одна единственная неизвестная переменная. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса . После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса . Следует заметить, что когда мы выражаем x 1 через x 2 и x 3 в первом уравнении, а затем подставляем полученное выражение во второе и третье уравнения, то к такому же результату приводят следующие действия: Действительно, такая процедура также позволяет исключить неизвестную переменную x 1
из второго и третьего уравнений системы: Нюансы с исключением неизвестных переменных по методу Гаусса возникают тогда, когда уравнения системы не содержат некоторых переменных. Например, в СЛАУ в первом уравнении отсутствует неизвестная переменная x 1 (иными словами, коэффициент перед ней равен нулю). Поэтому мы не можем разрешить первое уравнение системы относительно x 1 , чтобы исключить эту неизвестную переменную из остальных уравнений. Выходом из этой ситуации является перестановка местами уравнений системы. Так как мы рассматриваем системы линейных уравнений, определители основных матриц которых отличны от нуля, то всегда существует уравнение, в котором присутствует нужная нам переменная, и мы это уравнение можем переставить на нужную нам позицию. Для нашего примера достаточно поменять местами первое и второе уравнения системы , дальше можно разрешить первое уравнение относительно x 1 и исключить ее из остальных уравнений системы (хотя во втором уравнении x 1 уже отсутствует). Надеемся, что суть Вы уловили. Опишем алгоритм метода Гаусса. Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида , и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля. Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x 1
из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x 1 через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x 1 исключена из всех уравнений, начиная со второго. Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы, которая отмечена на рисунке Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому
уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид Далее приступаем к исключению неизвестной x 3
, при этом действуем аналогично с отмеченной на рисунке частью системы Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем x n из последнего уравнения как , с помощью полученного значения x n находим x n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x 1 из первого уравнения. Разберем алгоритм на примере. Пример. методом Гаусса. Решение. Коэффициент a 11
отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x 1
из всех уравнений системы, кроме первого. Для этого к левой и правой частям второго, третьего и четвертого уравнения прибавим левую и правую части первого уравнения, умноженные соответственно на , и : Неизвестную переменную x 1
исключили, переходим к исключению x 2
. К левым и правым частям третьего и четвертого уравнений системы прибавляем левую и правую части второго уравнения, умноженные соответственно на и : Для завершения прямого хода метода Гаусса нам осталось исключить неизвестную переменную x 3
из последнего уравнения системы. Прибавим к левой и правой частям четвертого уравнения соответственно левую и правую часть третьего уравнения, умноженную на : Можно начинать обратный ход метода Гаусса. Из последнего уравнения имеем , Для проверки можно подставить полученные значения неизвестных переменных в исходную систему уравнений. Все уравнения обращаются в тождества, что говорит о том, что решение по методу Гаусса найдено верно. Ответ: А сейчас приведем решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи. Пример. Найдите решение системы уравнений методом Гаусса. Решение. Расширенная матрица системы имеет вид . Сверху над каждым столбцом записаны неизвестные переменные, которым соответствуют элементы матрицы. Прямой ход метода Гаусса здесь предполагает приведение расширенной матрицы системы к трапецеидальному виду с помощью элементарных преобразований. Этот процесс схож с исключением неизвестных переменных, которое мы проводили с системой в координатной форме. Сейчас Вы в этом убедитесь. Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы в первом столбце, начиная со второго, стали нулевыми. Для этого к элементам второй, третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки умноженные на , и на соответственно:
Далее полученную матрицу преобразуем так, чтобы во втором столбце все элементы, начиная с третьего стали нулевыми. Это будет соответствовать исключению неизвестной переменной x 2
. Для этого к элементам третьей и четвертой строк прибавим соответствующие элементы первой строки матрицы, умноженные соответственно на и :
Осталось исключить неизвестную переменную x 3
из последнего уравнения системы. Для этого к элементам последней строки полученной матрицы прибавим соответствующие элементы предпоследней строки, умноженные на :
Следует отметить, что эта матрица соответствует системе линейных уравнений Пришло время обратного хода. В матричной форме записи обратный ход метода Гаусса предполагает такое преобразование полученной матрицы, чтобы матрица, отмеченная на рисунке
Эти преобразования аналогичны преобразованиям прямого хода метода Гаусса, но выполняются не от первой строки к последней, а от последней к первой. Прибавим к элементам третьей, второй и первой строк соответствующие элементы последней строки, умноженные на , на и на соответственно: Теперь прибавим к элементам второй и первой строк соответствующие элементы третьей строки, умноженные на и на соответственно: На последнем шаге обратного хода метода Гаусса к элементам первой строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на : Полученная матрица соответствует системе уравнений , откуда находим неизвестные переменные. Ответ: ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ. При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам. Рекомендуем не округлять десятичные дроби. Лучше от десятичных дробей переходить к обыкновенным дробям. Пример. Решите систему из трех уравнений методом Гаусса . Решение. Отметим, что в этом примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (не x 1 , x 2 , x 3
, а x, y, z
). Перейдем к обыкновенным дробям: Исключим неизвестную x
из второго и третьего уравнений системы: В полученной системе во втором уравнении отсутствует неизвестная переменная y
, а в третьем уравнении y
присутствует, поэтому, переставим местами второе и третье уравнения: На этом прямой ход метода Гаусса закончен (из третьего уравнения не нужно исключать y , так как этой неизвестной переменной уже нет). Приступаем к обратному ходу. Из последнего уравнения находим ,
Ответ: X = 10, y = 5, z = -20 . Решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных или основная матрица системы вырожденная, методом Гаусса.Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений. Сейчас мы разберемся, как метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение). В принципе процесс исключения неизвестных переменных в случае таких СЛАУ остается таким же. Однако следует подробно остановиться на некоторых ситуациях, которые могут возникнуть. Переходим к самому важному этапу. Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид и ни одно уравнение не свелось к (в этом случае мы бы сделали вывод о несовместности системы). Возникает логичный вопрос: «Что делать дальше»? Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы: В нашем примере это x 1
, x 4
и x 5
. В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x 1
, x 4
и x 5
, остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком: Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения , где - произвольные числа:
После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса. Из последнего уравнений системы имеем , из предпоследнего уравнения находим , из первого уравнения получаем Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных Придавая числам различные значения, мы будем получать различные решения системы уравнений. То есть, наша система уравнений имеет бесконечно много решений. Ответ:
Для закрепления материала подробно разберем решения еще нескольких примеров. Пример. Решите однородную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Решение. Исключим неизвестную переменную x
из второго и третьего уравнений системы. Для этого к левой и правой части второго уравнения прибавим соответственно левую и правую части первого уравнения, умноженные на , а к левой и правой части третьего уравнения - левую и правую части первого уравнения, умноженные на : Теперь исключим y
из третьего уравнения полученной системы уравнений: Полученная СЛАУ равносильна системе . Оставляем в левой части уравнений системы только слагаемые, содержащие неизвестные переменные x
и y
, а слагаемые с неизвестной переменной z
переносим в правую часть: |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги