Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми. Точка пересечения прямых на плоскости онлайн |
Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =) Две прямые пространства могут: 1) скрещиваться; 2) пересекаться в точке ; 3) быть параллельными ; 4) совпадать. Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости . Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости . Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?Рассмотрим две прямые пространства: – прямую , заданную точкой и направляющим вектором ; Для лучшего понимания выполним схематический чертёж: Как разобраться с этими прямыми? Так как известны точки , то легко найти вектор . Если прямые скрещиваются , то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, будет отлично от нуля: . В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны , а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: . Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. Если направляющие векторы коллинеарны , то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны. Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают: Пример 11 Выяснить взаимное расположение двух прямых Решение : как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам: 1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы: 2) Найдём вектор: Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. 4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность. Составим систему из соответствующих координат данных векторов: Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны. Вывод: прямые параллельны либо совпадают. 5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой : Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными. Ответ : Интересный пример для самостоятельного решения: Пример 12 Выяснить взаимное расположение прямых Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр. И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны;-) Задачи с прямой в пространствеВ заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно. Скрещивающиеся прямыеНапоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами: Пример 13 Даны прямые . Требуется: а) доказать, что прямые скрещиваются; б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым; в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых; г) найти расстояние между прямыми. Решение : Дорогу осилит идущий: а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых: Найдём вектор: Вычислим смешанное произведение векторов
: Таким образом, векторы не компланарны , а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать. Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего. б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж: Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора. По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение: Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору : Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой. Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два». Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь. Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. – это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым: Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок. Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой. Решение оформим по пунктам: 1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме: Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО
. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует , обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде: Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных. 2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде: Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении
её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям: Или: 3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников . Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора. Есть две точки: . Находим вектор: 4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»: Или покоординатно: Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера . Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение: Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность. 5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки: Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега . После длинного пути всегда интересно выполнить проверку. : Подставим координаты точки в уравнения : 6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору : В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?г) Срубаем четвёртую голову дракона. Способ первый . Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: . Крайние точки общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна: Способ второй . На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр. В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми: Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: . Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину: Таким образом: Гордо выложим трофеи в один ряд: Ответ
: Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе: Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости: Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас! Как найти точку пересечения пространственных прямых?Пример 14 Найти точку пересечения прямых Решение
: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме: Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых. Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра
: Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно: Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения: Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса
, но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение: Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда: Подставим найденное значение параметра в уравнения: Ответ : Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения: Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое». Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами. Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?(прямые пересекаются) Пример 15 а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются). б) Найти расстояние от точки до прямой . Примечание
: оговорка «прямые пересекаются» – существенна
. Через точку
а) Решение : Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж: Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора. 1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме: Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра: Или одной строкой: 2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение
равно нулю: Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной: 3) Значение параметра известно, найдём точку: И направляющий вектор: 4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору : Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2: Ответ : Примечание : более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой. Проверка состоит из двух этапов: 1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность; 2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там. О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике. Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости . Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате. Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?б) Решение : Найдём расстояние от точки до прямой . Способ первый
. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то: Способ второй . В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой. Расстояние от точки до прямой выражается формулой: 1) Из уравнений прямой достаём направляющий вектор и самую доступную точку . 2) Точка известна из условия, заточим вектор: 3) Найдём векторное произведение
и вычислим его длину: 4) Рассчитаем длину направляющего вектора: 5) Таким образом, расстояние от точки до прямой: В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке, задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых. ШагиТочка пересечения двух прямых
Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Точка пересечения прямыхПусть нам даны две прямые, заданные своими коэффициентами и . Требуется найти их точку пересечения, или выяснить, что прямые параллельны. РешениеЕсли две прямые не параллельны, то они пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, достаточно составить из двух уравнений прямых систему и решить её: Пользуясь формулой Крамера, сразу находим решение системы, которое и будет искомой точкой пересечения : Если знаменатель нулевой, т.е. то система решений не имеет (прямые параллельны и не совпадают) или имеет бесконечно много (прямые совпадают ). Если необходимо различить эти два случая, надо проверить, что коэффициенты прямых пропорциональны с тем же коэффициентом пропорциональности, что и коэффициенты и , для чего достаточно посчитать два определителя, если они оба равны нулю, то прямые совпадают: Реализацияstruct pt {double x, y;}; struct line {double a, b, c;}; constdouble EPS =1e-9; double det (double a, double b, double c, double d){return a * d — b * c;} bool intersect (line m, line n, pt & res){double zn = det (m.a, m.b, n.a, n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;} Урок из серии «Геометрические алгоритмы » Здравствуйте, дорогой читатель. Совет 1: Как найти координаты точки пересечения двух прямыхНапишем еще три новые функции. Функция LinesCross() будет определять, пересекаются ли два отрезка . В ней взаимное расположение отрезков определяется с помощью векторных произведений. Для вычисления векторных произведений напишем функцию – VektorMulti(). Функция RealLess() будет использоваться для реализации операции сравнения “<” (строго меньше) для вещественных чисел. Задача1. Два отрезка заданы своими координатами. Составить программу, которая определяет, пересекаются ли эти отрезки , не находя точку пересечения. Решение
Точка лежит слева от прямой , для нее векторное произведение > 0, так как векторы положительно ориентированы. Точка расположена справа от прямой, для нее векторное произведение < 0, так как векторы отрицательно ориентированы. Для того чтобы точки и , лежали по разные стороны от прямой , достаточно, чтобы выполнялось условие < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки). Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка и точек и . Итак, если , то отрезки пересекаются. Для проверки этого условия используется функцию LinesCross(), а для вычисления векторных произведений – функция VektorMulti(). ax, ay – координаты первого вектора, bx, by – координаты второго вектора. Program geometr4; {Пересекаются ли 2 отрезка?} Const _Eps: Real=1e-4; {точность вычслений} var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; {Строго меньше} begin RealLess:= b-a> _Eps end; {RealLess}function VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; {ax,ay — координаты a bx,by — координаты b } begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; {Пересекаются ли отрезки?} begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); if RealLess(v1*v2,0) and RealLess(v3*v4,0) {v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end. Результаты выполнения программы: Введите координаты отрезков: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3 Мы написали программу, определяющую, пересекаются ли отрезки, заданные своими координатами. На следующем уроке мы составим алгоритм, с помощью которого можно будет определить, лежит ли точка внутри треугольника. Уважаемый читатель. Вы уже познакомились с несколькими уроками из серии «Геометрические алгоритмы». Все ли доступно написано? Я буду Вам очень признательна, если Вы оставите отзыв об этих уроках. Возможно, что-то нужно еще доработать. С уважением, Вера Господарец. Пусть даны два отрезка. Первый задан точками P 1 (x 1 ;y 1)
и P 2 (x 2 ;y 2)
. Второй задан точками P 3 (x 3 ;y 3)
и P 4 (x 4 ;y 4)
. Взаимное расположение отрезков можно проверить с помощью векторных произведений: Рассмотрим отрезок P 3 P 4
и точки P 1
и P 2
. Точка P 1
лежит слева от прямой P 3 P 4
, для нее векторное произведение v 1 > 0
, так как векторы положительно ориентированы. Для того чтобы точки P 1 и P 2 лежали по разные стороны от прямой P 3 P 4 , достаточно, чтобы выполнялось условие v 1 v 2 < 0 (векторные произведения имели противоположные знаки). Аналогичные рассуждения можно провести для отрезка P 1 P 2 и точек P 3 и P 4 . Итак, если v 1 v 2 < 0 и v 3 v 4 < 0 , то отрезки пересекаются. Векторное произведение двух векторов вычисляется по формуле: Уравнение прямой, проходящей через две различные точки, заданные своими координатами. Пусть на прямой заданы две не совпадающие точки:P 1 с координатами (x 1 ;y 1) и P 2 с координатами (x 2 ; y 2) . Пересечение прямыхСоответственно вектор с началом в точке P 1 и концом в точке P 2 имеет координаты (x 2 -x 1 , y 2 -y 1) . Если P(x, y) – произвольная точка на прямой, то координаты вектора P 1 P равны (x — x 1 , y – y 1). С помощью векторного произведения условие коллинеарности векторов P 1 P
и P 1 P 2
можно записать так: Последнее уравнение переписывается следующим образом: Итак, прямую можно задать уравнением вида (1). Как найти точку пересечения прямых? ax 1 +by 1 =-c 1 Ввести обозначения: Здесь D – определитель системы, а D x ,D y — определители, получающиеся в результате замены столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов. Если D ≠ 0 , то система (2) является определенной, то есть имеет единственное решение. Это решение можно найти по следующим формулам: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D , которые называются формулами Крамера. Небольшое напоминание, как вычисляется определитель второго порядка. В определителе различают две диагонали: главную и побочную. Главная диагональ состоит из элементов, взятых по направлению от верхнего левого угла определителя в нижний правый угол. Побочная диагональ – из правого верхнего в нижний левый. Определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали. Тема 3. Теория Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнения плоскости и прямой линии. Общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно координат (x ; y ; z ) - нормаль , вектор, перпендикулярный плоскости.
Некоторые стандартные виды уравнений плоскости:
Собственно уравнения плоскости будут получены, если раскрыть соответствующий определитель по первой строке. Формула для вычисления расстояния от заданной точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) до плоскости , заданной уравнением Ах+ By + Cz + D =0 : . Очевидно, если d =0 , то точка М 1 принадлежит плоскости. Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух не параллельных плоскостей (любых, проходящих через прямую). Виды уравнений прямой в пространстве:
Условия
параллельности и перпендикулярности
прямых в пространстве определяются как
условия соответственно коллинеарности
и перпендикулярности их направляющих
векторов. Пусть прямые (1) и (2) заданы в
каноническом или параметрическом виде,
тогда
Условие пересечения двух прямых в пространстве – это условие комплонарности трех векторов: Переход от общих уравнений прямой к уравнениям в каноническом или параметрическом виде осуществляется следующим образом (возможен и обратный переход). Заданы
уравнения прямой в общем виде:
Найдем
координаты направляющего вектора:
Найдем любую точку, принадлежащую прямой. Она также принадлежит обеим плоскостям, задающим прямую, поэтому ее координаты (x 0 , y 0 , z 0) можно найти из системы уравнений: , в которой одну из координат надо задать произвольно (т.к. находим любую точку), но так, чтобы система имела единственное решение. Координаты вектора и найденной точки подставляют в канонические или параметрические уравнения. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости формулируют как условия перпендикулярности и параллельности нормали и направляющего вектора.
|
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги