Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Решение неоднородных дифференциальных уравнений третьего порядка |
Дифференциальные уравнения высших порядков Основная терминология дифференциальных уравнений высших порядков (ДУ ВП). Уравнение вида , где n >1 (2) называется дифференциальным уравнением высшего порядка, т. е. n -го порядка. Область определения ДУ, n -го порядка есть область . В данном курсе будут рассматриваться ДУ ВП следующих видов: Задача Коши ДУ ВП: Пусть дано ДУ , Требуется найти непрерывную и n раз дифференцируемую функцию 1) 2) удовлетворяет заданным, начальным условиям: . Для ДУ второго порядка геометрическая интерпретация решения задачи заключается в следующем: ищется интегральная кривая, проходящая через точку (x 0 , y 0 ) и касающаяся прямой с угловым коэффициентом k = y 0 ́ . Теорема существования и единственности (решения задачи Коши для ДУ (2)): Если 1) Область называется областью единственности ДУ. Общее решение ДУ ВП
(2) – n
-параметрическая
функция , 1) 2) н/у из области единственности ! Замечание . Соотношение вида Частное решение ДУ (2) получается из его общего решения при конкретном значении . Интегрирование ДУ ВП. Дифференциальные уравнения высших порядков, как правило, не решаются точными аналитическими методами. Выделим некоторого вида ДУВП, допускающих понижения порядка и сводящихся к квадратурам. Сведем в таблицу эти виды уравнений и способы понижения их порядка. ДУ ВП, допускающие понижения порядка
Определение однородной функции: Функция – порядок однородности. Например, – функция однородная 2-го порядка относительно Пример 1 : Найти общее решение ДУ ДУ 3-го порядка, неполное, не содержит явно , – общее решение ДУ. Пример 2 : Решить задачу Коши для ДУ ДУ второго порядка, неполное, не содержит явно . Подстановка . Получили ДУ первого порядка – уравнение Бернулли. Для решения этого уравнения применим подстановку Бернулли: , и подставим в уравнение. На этом этапе решим задачу Коши для уравнения – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. В последнее равенство подставляем начальные условия: Ответ: Пример 3: Решить ДУ. – ДУ 2-го порядка, неполное, не содержит явно переменную , и поэтому допускает понижение порядка на единицу с помощью подстановки или Получим уравнение – ДУ 1-го порядка с разделяющими переменными. Разделим их. – общий интеграл ДУ. Пример 4 : Решить ДУ. Уравнение Проинтегрируем левую и правую части по , т. е. Пример5 : Решить задачу Коши для ДУ 4-го порядка, неполное, не содержит явно Ответ: Пример 6 : Решить уравнение. – ДУ 2-го порядка, полное, содержит однородность относительно . Подставим Учитывая, что Теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Основная терминология. – НЛДУ -го порядка, где – непрерывные функции на некотором промежутке . Называется интервалом непрерывности ДУ (3). Введем (условный) дифференциальный оператор -го порядка При действии его на функцию , получим Т. е. левую часть линейного ДУ -го порядка. Вследствие этого ЛДУ можно записать Линейные свойства оператора 1) – свойство аддитивности 2) Свойства легко проверяются, т. к. производные этих функций обладают аналогичными свойствами (конечная сумма производных равна сумме конечного числа производных; постоянный множитель можно вынести за знак производной). Т. о. Рассмотрим вопрос существования и единственности решения задачи Коши для ЛДУ Разрешим ЛДУ относительно Функция непрерывная в области , производные Следовательно, область единственности , в которой задача Коши ЛДУ (3) имеет единственное решение и зависит только от выбора точки Общая теория ОЛДУ . – интервал непрерывности. Основные свойства решений ОЛДУ: 1. Свойство аддитивности ( Доказательство: – решение ОЛДУ (4) на – решение ОЛДУ (4) на Тогда 2. Свойство однородности ( – решение ОЛДУ (4) на ) ( – решение ОЛДУ (4) на . Доказывается аналогично. Свойства аддитивности и однородности называются линейными свойствами ОЛДУ (4). Следствие: ( 3. ( – комплексно-значное решение ОЛДУ (4) на )( Доказательство: Если – решение ОЛДУ (4) на , то при подстановке в уравнение обращает его в тождество, т. е. В силу линейности оператора , левую часть последнего равенства можно записать так: Это значит, что , т. е. – действительно-значные решения ОЛДУ (4) на . Последующие свойства решений ОЛДУ связаны с понятием “линейная зависимость ”. Определение линейной зависимости конечной системы функций Система функций называется линейно зависимой на , если найдётся нетривиальный
набор чисел Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированиемРассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида: Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном видеПодстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь - функция от .
Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...Для решения этого уравнения, делаем подстановку Линейные дифференциальные уравнения высших порядковРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка
: Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка
: Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к нимЛинейные однородные уравнения с постоянными коэффициентамиЭто уравнения вида: Ищем решение в виде .
Получаем характеристическое уравнение
: Если это уравнение имеет различные корни
,
то фундаментальная система решений имеет вид: Если имеется комплексный корень
Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: . Кратным комплексным корням
кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений: Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частьюРассмотрим уравнение вида Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень
,
то ищем частное решение в виде: Если характеристическое уравнение (4) имеет корень
кратности ,
то ищем частное решение в виде: После этого получаем общее решение: Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентамиЗдесь возможны три способа решения. 1)
Метод Бернулли
. 2)
Метод линейной подстановки
. 3)
Метод вариации постоянных Лагранжа
. Уравнение ЭйлераОно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой: Использованная литература: В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции. Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей. Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия. Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу . Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений. Напомним, что , если y является функцией аргумента x . Дифференциальные уравнения первого порядка.Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида . Запишем несколько примеров таких ДУ . Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются . Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести . Дифференциальные уравнения второго порядка.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно. Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных. В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка . Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, . Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций: Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде. Примером ЛОДУ является . Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных. В качестве примера ЛНДУ можно привести . Дифференциальные уравнения высших порядков.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой . В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y . Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого. Теорию вычислений неоднородных дифференциальных уравнений (ДУ) приводить в данной публикации не будем, из предыдущих уроков Вы можете найти достаточно информации, чтобы найти ответ на вопрос "Как решить неоднородное дифференциальное уравнение?" Степень неоднородного ДУ здесь большой роли не играет, не так уж и много имеется способов, которые позволяют вычислить решение подобных ДУ. Чтобы Вам было легко читать ответы в примерах основной акцент сделан только на методику вычислений и подсказки, которые облегчат вывод конечной функции. Пример 1.
Решить дифференциальное уравнение
Пример 2.
Найти Пример 3.
Найти интеграл ДУ третьего порядка
Пример 4.
Решить дифференциальное уравнение
Считаю, что материал Вам пригодится при подготовке к практическим занятиям, модулям или контрольной работе. Здесь не разбирали задачу Коши, однако из предыдущих уроков Вы в целом знаете как это сделать. Уравнение вида: называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка, гдеa 0 ,а 1 ,…а n -функции переменной х или константы, причём a 0 ,а 1 ,…а n и f(x) считаются непрерывными. Если a 0 =1(если
Если
уравнение однородное. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка nУравнение вида: называются линейными однородными дифференциальными уравнениями порядкаn. Для этих уравнений справедливы следующие теоремы: Теорема 1:
Если
Доказательство: подставим сумму в Т.к производная любого порядка от суммы равна суме производных, то можно перегруппироватся, раскрыв скобки: т.к y 1 и y 2 – решение. 0=0(верно) теорема доказана. Теорема 2:
Если
y 0 -решение
,
то
Доказательство:
Подставим
т.к С выносится за знак производной, то т.к решение,
0=0(верно) теорема доказана. Следствие из Т1
и Т2:
если
Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойстваОпределение:
Система функций
Определение:
Систему
функций
Возьмём
систему двух линейно зависимых функций 1) 2) 3)линейно зависимы Определение:
Дана система
функций
Определитель
Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом: Свойства определителя Вронского: Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка. Если y 1 и y 2 – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то общее решение имеет вид: Доказательство:
Если даны начальные условия то идолжны находится однозначно. - начальные условия. Составим систему для нахождения и. Для этого подставим начальные условия в общее решение. определитель этой
системы:
т.к
илинейно
независимы т.к определитель
системы не равен 0, то система имеет
единственное решение и
инаходятся из системы однозначно. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка nМожно показать
что уравнение имеет n
линейно независимых решений
Определение:
n
линейно независимых решений
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядкаn , т.е (*) – линейная комбинация фундаментальной системы решений: Где
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами Это
уравнения вида: Определение:
Уравнение
1)D>0 2)D=0 3)D<0 Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и. Будем показывать что: 1) и- ЛНЗ 2) и- решение (*) Рассмотрим 1
случай
D>0 Х В качестве ФСР
возьмём:
а) покажем ЛНЗ
б) покажем, что
- решение
(*), подставим
+p верное
равенство аналогично показывается для y 2 . Вывод:
Рассмотрим
2случай:
D=0 В качестве ФСР
возьмём:
ЛНЗ:
-решение уравнения
(см. 1 случай). Покажем что подставим в ДУ -решение. Вывод:
ФСР
Пример:
3 случай
:
D<0 подставим комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0. - будем использовать. Покажем, что
А)ЛНЗ:
Б) верное равенство Аналогично показывается, что тоже решение. Вывод:
ФСР:
Общее решение: Если заданы н.у. -
то сначала находят общее решение
Н.у:
|
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги