Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Общее уравнение параболы. Парабола определение свойства построение |
Парабола есть множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса ) и от данной прямой, не проходящей через данную точку (директрисы ), расположенных в той же плоскости (рис.5). При этом система
координат выбрана так, что ось
В ряде случаев рассматриваются параболы, заданные уравнениями а)
б)
в)
В случае а) парабола
симметрична относительно оси
В случаях б) и в)
осью симметрии является ось
а)
Уравнение директрис: а)
Пример 4.
Парабола
с вершиной в начале координат проходит
через точку
Решение: Так как парабола
симметрична относительно оси
Подставляя
координаты точки
Следовательно, искомое уравнение
фокус этой параболы
4. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду.Общее уравнение второй степени имеет вид где коэффициенты
Всякая определяемая уравнением (6) линия называется линией второго порядка. С помощью преобразования системы координат уравнение линии второго порядка может быть приведено к простейшему (каноническому) виду. 1.
В уравнении (6)
Оно преобразуется к простейшему виду с помощью параллельного переноса осей координат по формулам
где
Приведение уравнения (7) к простейшему виду удобно делать методом выделения полных квадратов аналогично тому, как это делалось для окружности. Пример 5. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Определить вид и расположение этой линии. Найти координаты фокусов. Сделать чертеж. Решение: Группируем члены,
содержащие только
Дополняем выражения в скобках до полных квадратов: Таким образом, данное уравнение преобразовано к виду Обозначаем
Сравнивая с
уравнениями (8), видим, что эти формулы
определяют параллельный перенос осей
координат в точку
Перенося свободный член вправо и разделив на него, получим:
Итак, данная линия
второго порядка есть эллипс с полуосями
Аналогично, новые
координаты левого фокуса
Замечание
.
Для уточнения чертежа полезно найти
точки пересечения данной линии (7) со
старыми координатными осями. Для этого
надо в формуле (7) положить сначала
Появления комплексных корней будет означать, что линия (7) соответствующую координатную ось не пересекает. Например, для эллипса только что разобранной задачи получаются такие уравнения: Второе из этих
уравнений имеет комплексные корни, так
что эллипс ось
В точках
Пример 6. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка . Определить вид и расположении линии, найти координаты фокуса. Решение: Так как член с
Выносим также за
скобку коэффициент при
Обозначаем
Тем самым производится
параллельный перенос системы координат
в точку
Поэтому фокус имеет новые координаты
Его старые координаты Если в данном
уравнении положить
2.
В уравнении (1)
где
Оси координат
поворачиваются при этом так, чтобы новые
оси
Зная
Если угол поворота
В частности, при
Пример 7. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Установить вид и расположение этой линии. Решение: В данном случае
Решение этого
уравнения
Подставляя эти
значения
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим
Наконец, разделив на свободный член, придем к уравнению эллипса
Отсюда следует,
что
Получится точка
Заметим, что данный
эллипс пересекает старые координатные
оси в точках, которые находятся из
квадратных уравнений (если в данном
уравнении положить
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =) Гипербола и её каноническое уравнениеОбщая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ». Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции …. У гиперболы две симметричные ветви. Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии: Пример 4 Построить гиперболу, заданную уравнением Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20: Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
: И только после этого провести сокращение: Выделяем квадраты в знаменателях: Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись: Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением : Как построить гиперболу?Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический. Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии: На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду . Парабола и её каноническое уравнениеСвершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться: Пример 6 Построить параболу Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» : Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу. Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое определение параболы:Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку . Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением . Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение. Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси Эксцентриситет любой параболы равен единице: Поворот и параллельный перенос параболыПарабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой. ! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях. Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1. Лекция 17. Парабола. Глава 17. Парабола. п.1. Основные определения. Определение. Параболой называется ГМТ плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, и одной фиксированной прямой, называемой директрисой. Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М. Обозначения: F– фокус параболы,r– фокальный радиус точки М,d– расстояние от точки М до директрисыD. По
определению параболы, точка М является
точкой параболы тогда и только тогда,
когда
По определению параболы, его фокус и директриса есть фиксированные объекты, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы. Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы. Обозначение:
Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для параболы. Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы. Построим каноническую для параболы ПДСК, см. рис.2. В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, направление на которой выбираем от директрисы к фокусу. Ось
ординат проводим через середину отрезка
FNперпендикулярно фокальной
оси. Тогда фокус имеет координаты п.2. Каноническое уравнение параболы. Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение параболы имеет вид:
Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на параболе удовлетворяют уравнению (1). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (1) дает координаты точки, лежащей на параболе. Отсюда будет следовать, что уравнению (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат на параболе. Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (1) является уравнением параболы. 1) Пусть точка М(х, у) является точкой параболы, т.е.
Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальный радиус данной точки М:
Из
рисунка 2 мы видим, что точка параболы
не может иметь отрицательной абсциссы,
т.к. в этом случае
Возведем обе части равенства в квадрат: и после сокращения получаем:
2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (1) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху. Тогда подставляем равенство (1) в выражение для фокального радиуса точки М:
Здесь
мы воспользовались тем, что из равенства
(1) следует, что
Теорема доказана. Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. Определение. Начало канонической для параболы системы координат называется вершиной параболы. п.3. Свойства параболы. Теорема. (Свойства параболы.) 1. В канонической для параболы системе координат, в полосе нет точек параболы. 2. В канонической для параболы системе координат вершина параболы О(0; 0) лежит на параболе. 3. Парабола является кривой, симметричной относительно фокальной оси. Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения параболы. 3)
Пусть М(х, у) – произвольная точка
параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют
уравнению (1). Но тогда координаты точки
Теорема доказана. п.4. Построение параболы. В силу симметрии достаточно построить параболу в первой четверти, где она является графиком функции
а затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс. Строим график этой
функции, учитывая, что данная функция
является возрастающей на промежутке
п.5. Фокальный параметр гиперболы. Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой. Доказательство.
Так как точка
Отсюда
находим
Теорема доказана. п.6. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы. Используя доказанные свойства эллипса и гиперболы, и определение параболы можно дать единое для всех трех кривых определение. Определение. ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до одной фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, называется: а) эллипсом, если эта постоянная величина меньше 1; б) гиперболой, если эта постоянная величина больше 1; в) параболой, если эта постоянная величина равна 1. Эта
постоянная величина, о которой идет
речь в определении, называется
эксцентриситетом и обозначается
Из
определения следует, что те точки
плоскости, для которых отношение
Если
п.7. Касательная к параболе. Теорема.
Пусть
Тогда уравнение касательной к этой параболе в
точке
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда уравнение параболы имеет вид: и
ее можно рассматривать как график
функции
Воспользуемся
уравнением касательной к графику функции
где
Найдем производную
функции
Здесь
мы воспользовались тем, что точка касания
Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:
откуда получаем:
Так
как точка
или
Отсюда следует
Теорема доказана. п.8. Зеркальное свойство параболы. Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания. Доказательство.
Пусть
откуда
абсцисса точки Nравна Рассмотрим
треугольник
Действительно,
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда
Теорема доказана. Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы. Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы. Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс. Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные колебания (волны), то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки. Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом". Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Так что становится понятным происхождение этого термина. Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь лекговоспламеняющее, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом. (Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики") п.9. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы. Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямаяD, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть прямой, которая не пересекает директрису (см. рис.5). Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть зллипс гиперболу или параболу просто кривой. Теорема.
Пусть
где
р – фокальный параметр кривой,
Доказательство.
Пусть Q– проекция точки
М на фокальную ось кривой, В – на
директрису кривой. Пусть полярный угол
где
по построению,
С другой стороны, по единому определению эллипса, гиперболы и параболы отношение
равно
эксцентриситету соответствующей кривой
для любой точки М на данной кривой. Пусть
точка
или, учитывая равенство (5), откуда и следует доказываемое равенство (3). Заметим, что
равенство (4) остается верным и в случае,
когда полярный угол
Теорема доказана. Определение. Уравнение (3) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы и параболы. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F и заданной прямой d , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы . Директориальное свойство параболыТочка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние \frac{p}{2} от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM , соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки M . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы. Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства , и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице (e=1) . Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы: Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,б). Вершину O параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки O к точке F ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой). Составим уравнение параболы, используя её геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса F\!\left(\frac{p}{2};\,0\right) и уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей параболе, имеем: FM=MM_d, где M_d\!\left(\frac{p}{2};\,y\right) - ортогональная проекция точки M(x,y) на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме: \sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. Возводим обе части уравнения в квадрат: {\left(x-\frac{p}{2}\right)\!}^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы y^2=2\cdot p\cdot x, т.е. выбранная система координат является канонической. Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы. Уравнение параболы в полярной системе координатУравнение параболы в полярной системе координат Fr\varphi (рис.3.45,в) имеет вид r=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi}, где p - параметр параболы, а e=1 - её эксцентриситет. В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус F параболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F , перпендикулярный директрисе и не пересекающий её (рис.3.45,в). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (директориальному свойству) параболы, имеем MM_d=r . Поскольку MM_d=p+r\cos\varphi , получаем уравнение параболы в координатной форме: p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-\cos\varphi}, что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 для ). Геометрический смысл параметра в уравнении параболыПоясним геометрический смысл параметра p в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) x=\frac{p}{2} , получаем y^2=p^2 , т.е. y=\pm p . Следовательно, параметр p - это половина длины хорды параболы, проходящей через её фокус перпендикулярно оси параболы. Фокальным параметром параболы , так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при \varphi=\frac{\pi}{2} получаем r=p , т.е. параметр параболы совпадает с её фокальным параметром. Замечания 3.11. 1. Параметр p параболы характеризует её форму. Чем больше p , тем шире ветви параболы, чем ближе p к нулю, тем ветви параболы уже (рис.3.46). 2. Уравнение y^2=-2px (при p>0 ) определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,a). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изменения направления оси абсцисс (3.37). На рис. 3.47,a изображены заданная система координат Oxy и каноническая Ox"y" . 3. Уравнение (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0 , также определяет параболу с вершиной O"(x_0,y_0) , ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,б,в изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат Ox"y" . 4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 является параболой с вершиной в точке O"\!\left(-\frac{b}{2a};\,-\frac{b^2-4ac}{4a}\right) , ось которой параллельна оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при a>0 ) или вниз (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{1}{a}\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\!, которое приводится к каноническому виду (y")^2=2px" , где p=\left|\frac{1}{2a}\right| , при помощи замены y"=x+\frac{b}{2a} и x"=\pm\!\left(y+\frac{b^2-4ac}{4a}\right) . Знак выбирается совпадающим со знаком старшего коэффициента a . Эта замена соответствует композиции: параллельного переноса (3.36) с x_0=-\frac{b}{2a} и y_0=-\frac{b^2-4ac}{4a} , переименования координатных осей (3.38), а в случае a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и a<0 соответственно. 5. Ось абсцисс канонической системы координат является осью симметрии параболы , поскольку замена переменной y на -y не изменяет уравнения (3.51). Другими словами, координаты точки M(x,y) , принадлежащей параболе, и координаты точки M"(x,-y) , симметричной точке M относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.S1). Оси канонической системы координат называются главными осями параболы . Пример 3.22. Изобразить параболу y^2=2x в канонической системе координат Oxy . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы. Решение. Строим параболу, учитывая её симметрию относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставляя x=2 в уравнение параболы, получаем y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2 . Следовательно, точки с координатами (2;2),\,(2;-2) принадлежат параболе. Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.S1), определяем фокальный параметр: p=1 . Координаты фокуса x_F=\frac{p}{2}=\frac{1}{2},~y_F=0 , т.е. F\!\left(\frac{1}{2},\,0\right) . Составляем уравнение директрисы x=-\frac{p}{2} , т.е. x=-\frac{1}{2} . Общие свойства эллипса, гиперболы, параболы1. Директориальное свойство может быть использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e , называется: а) , если 0\leqslant e<1 ; б) , если e>1 ; в) параболой , если e=1 . 2. Эллипс, гипербола, парабола получаются в сечениях кругового конуса плоскостями и поэтому называются коническими сечениями . Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы. 3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссекториальное свойство их касательных. Под касательной к линии в некоторой её точке K понимается предельное положение секущей KM , когда точка M , оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке K . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходящая через точку касания, называется нормалью к этой линии. Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касательная (нормаль) к эллипсу или к гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (нормаль) к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке K является биссектрисой внешнего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внутреннего угла F_1KF_2 треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника F_1KF_2 (а нормаль - биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника FKK_d (а нормаль - биссектрисой внешнего угла). Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и гиперболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке. 4. Из биссекториальных свойств следуют оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы , поясняющие физический смысл термина "фокус". Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, гиперболы или параболы вокруг фокальной оси. Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. падающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхности, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства: – если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52,а); – если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходятся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б); – если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в). 5. Диаметральное свойство эллипса, гиперболы и параболы можно сформулировать следующим образом: – середины параллельных хорд эллипса (гиперболы) лежат на одной прямой, проходящей через центр эллипса (гиперболы) ; – середины параллельных хорд параболы лежат на прямой, коллинеарной оси симметрии параболы . Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называют диаметром эллипса (гиперболы, параболы) , сопряженным к этим хордам. Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). Ранее было дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка называется прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исключением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53,6); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в). Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы. Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке K можно определить как предельное положение параллельных секущих M_1M_2 , когда точки M_1 и M_2 , оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке K . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам. 6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных выше, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра F притяжения. Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа. Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c. Пример. Построить график функции y=x²+2x-3. Решение: y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.). График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x². Пример. Построить график функции y= -x²+2x+8. Решение: y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.): Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку. Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки. Построить график функции y=x²+5x+4. Решение: y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25). Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0). В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4). Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу: Построить график функции y= -x²-3x. Решение: y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы. В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат. При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика. Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше. Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос. Рубрика: | |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги