Все формулы площади плоских фигур

Площадь равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а - нижнее основание

b - верхнее основание

с - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности

R- радиус вписанной окружности

D- диаметр вписанной окружности

O- центр вписанной окружности

H- высота трапеции

α, β - углы трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d- диагональ трапеции

α,β- углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

c- боковая сторона

m- средняя линия трапеции

α, β - углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании,

(S):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a - нижнее основание

b - верхнее основание

h - высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.

a, b, c- стороны треугольника

α, β, γ- противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

Формула площади правильного многоугольника

a - сторона многоугольника

n - количество сторон

Площадь правильного многоугольника, (S):

Формула (Герона) площади треугольника через полупериметр (S):

Площадь равностороннего треугольника равна:

Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.

a - сторона треугольника

h – высота

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?

b - основание треугольника

a - равные стороны

h – высота

3. Формула площади трапеции через четыре стороны

a - нижнее основание

b - верхнее основание

c , d - боковые стороны

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

a - боковые стороны трапеции

c - нижнее основание

b - верхнее основание

d - диагональ

h - высота

Формула радиуса описанной окружности трапеции, (R)

найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b - стороны треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

a - сторона шестиугольника

Радиус вписанной окружности в шестиугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

r - радиус вписанной окружности

a - сторона ромба

D, d - диагонали

h - высота ромба

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

с - нижнее основание

b - верхнее основание

a - боковые стороны

h - высота

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

a, b - катеты треугольника

с - гипотенуза

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

a, b - стороны треугольника

Доказать, что площадь вписанного четырёхугольника равна

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

где р - полупериметр и а, b, с и d - стороны четырёхугольника.

Доказать, что площадь вписанного в круг четырёхугольника равна

1/2 (ab + cb) · sin α , где а, b, с и d - стороны четырёхугольника и α - угол между сторонами а и b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Читайте подробнее на FB.ru:

Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:

где р – полупериметр четырёхугольника.

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты

а описанного (рис. 1.14, б) () – по формуле

Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:

Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.

Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:

где - площадь, r – число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.

Эту формулу называют «формула Пика» - по имени математика, открывшего её в 1899 году.

Если вы планируете сделать ремонт самостоятельно, то у вас возникнет необходимость составить смету по строительным и отделочным материалам. Для этого вам понадобится рассчитать площадь помещения, в котором вы планируете произвести ремонтные работы. Главным помощником в этом выступает специально разработанная формула. Площадь помещения, а именно ее расчет, позволит вам сэкономить немалые деньги на строительных материалах и направить высвободившиеся денежные ресурсы в более нужное русло.

Геометрическая форма комнаты

Формула расчета площади помещения напрямую зависит от ее формы. Наиболее типичными для отечественных сооружений являются прямоугольные и квадратные комнаты. Однако в ходе перепланировки стандартная форма может искажаться. Комнаты бывают:

• Прямоугольные.
• Квадратные.
• Сложной конфигурации (например, круглые).
• С нишами и выступами.

Каждая из них имеет свои особенности расчета, но, как правило, используется одна и та же формула. Площадь помещения любой формы и размера, так или иначе, поддается вычислению.

Помещение прямоугольной или квадратной формы

Чтобы рассчитать площадь комнаты прямоугольной или квадратной формы, достаточно вспомнить школьные уроки геометрии. Поэтому для вас не должно составить особого труда определить площадь помещения. Формула расчета имеет вид:

S комнаты=A*B, где

А - длина помещения.

В - ширина помещения.

Для измерения этих величин вам понадобится обычная рулетка. Чтобы получить наиболее точные расчёты, стоит измерить стену с обеих сторон. Если значения не сходятся, возьмите за основу среднее значение получившихся данных. Но помните, что любые расчёты имеют свои погрешности, поэтому материал стоит закупать с запасом.

Помещение со сложной конфигурацией

Если ваша комната не попадает под определение «типичной», т.е. имеет форму круга, треугольника, многоугольника, то, возможно, для расчетов вам понадобится другая формула. Площадь помещения с такой характеристикой можно попробовать условно разделить на прямоугольные элементы и произвести расчеты стандартным путем. Если такой возможности у вас нет, тогда воспользуйтесь следующими методиками:

• Формула нахождения площади круга:

S комн.=π*R 2 , где

R - радиус помещения.

• Формула нахождения площади треугольника:

S комн.= √ (P(P - A) х (Р - В) х (Р - С)), где

Р - полупериметр треугольника.

А, В, С - длины его сторон.

Отсюда Р=А+В+С/2

Если в процессе расчета у вас возникли затруднения, то лучше не мучать себя и обратиться к профессионалам.

Площадь помещения с выступами и нишами

Зачастую стены украшают декоративными элементами в форме всевозможных ниш или выступов. Также их наличие может быть обусловлено необходимостью скрыть некоторые неэстетичные элементы вашей комнаты. Наличие выступов или ниш на вашей стене означает, что расчет следует проводить поэтапно. Т.е. сначала находится площадь ровного участка стены, а затем к нему прибавляется площадь ниши или выступа.

Площадь стены находится по формуле:

S стен = Р х С, где

Р - периметр

С - высота

Также нужно учитывать наличие окон и дверей. Их площадь необходимо отнять от получившегося значения.

Комната с многоуровневым потолком

Многоуровневый потолок не так сильно усложняет расчеты, как это кажется на первый взгляд. Если он имеет простую конструкцию, то можно произвести расчеты по принципу нахождения площади стен, осложненных нишами и выступами.

Однако если конструкция вашего потолка имеет дуго- и волнообразные элементы, то целесообразнее определить его площадь с помощью площади пола. Для этого необходимо:

1. Найти размеры всех прямых участков стен.
2. Найти площадь пола.
3. Перемножить длину и высоту вертикальных участков.
4. Суммировать получившееся значение с площадью пола.

Пошаговая инструкция по определению общей

площади помещения

1. Освободите помещение от ненужных вещей. В процессе замеров вам понадобится свободный доступ ко всем участкам вашей комнаты, поэтому нужно избавиться от всего, что может этому препятствовать.
2. Визуально разделите комнату на участки правильной и неправильной формы. Если ваше помещение имеет строго квадратную или прямоугольную форму, то этот этап можно пропустить.
3. Сделайте произвольную схему помещения. Этот чертеж нужен для того, чтобы все данные были у вас всегда под рукой. Также он не даст вам возможности запутаться в многочисленных замерах.
4. Замеры необходимо производить несколько раз. Это важное правило для исключения ошибок в подсчетах. Также если вы используете убедитесь, что луч лежит ровно на поверхности стены.
5. Найдите общую площадь помещения. Формула общей площади помещения заключается в нахождении суммы всех площадей отдельных участков комнаты. Т.е. S общ.= S стен+S пола+S потолка

Знания о том, как измерить Землю, появились еще в древности и постепенно оформились в науку геометрию. С греческого языка это слово так и переводится - «землемерие».

Мерой протяжённости плоского участка Земли по длине и ширине является площадь. В математике она обычно обозначается латинской буквой S (от англ. «square» - «площадь», «квадрат») или греческой буквой σ (сигма). S обозначает площадь фигуры на плоскости или площадь поверхности тела, а σ – площадь поперечного сечения провода в физике. Это основные символы, хотя могут быть и другие, например, в сфере сопротивления материалов, А - площадь сечения профиля.

Формулы расчета

Зная площади простых фигур, можно находить параметры более сложных . Античными математиками были выведены формулы, по которым можно легко их вычислять. Такими фигурами являются треугольник, четырёхугольник, многоугольник, круг.

Чтобы найти площадь сложной плоской фигуры, её разбивают на множество простых фигур, таких как треугольники, трапеции или прямоугольники. Затем математическими методами выводят формулу для площади этой фигуры. Подобный метод используют не только в геометрии, но и в математическом анализе для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми .

Треугольник

Начнём с самой простой фигуры - треугольника. Они бывают прямоугольные, равнобедренные и равносторонние. Возьмём любой треугольник ABC со сторонами AB=a, BC=b и AC=c (∆ ABC). Чтобы найти его площадь, вспомним известные из школьного курса математики теоремы синусов и косинусов. Отпуская все выкладки, придём к следующим формулам:

• S=√ - известная всем формула Герона, где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника;
• S=a h/2, где h - высота, опущенная на сторону a;
• S=a b (sin γ)/2, где γ - угол между сторонами a и b;
• S=a b/2, если ∆ ABC - прямоугольный (здесь a и b - катеты);
• S=b² (sin (2 β))/2, если ∆ ABC - равнобедренный (здесь b - одно из «бёдер», β - угол между «бёдрами» треугольника);
• S=a² √¾, если ∆ ABC - равносторонний (здесь a - сторона треугольника).

Четырёхугольник

Пусть имеется четырёхугольник ABCD, у которого AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Чтобы найти площадь S произвольного 4-угольника, нужно разделить его диагональю на два треугольника, площади которых S1 и S2 в общем случае не равны.

Затем по формулам вычислить их и сложить, т. е. S=S1+S2. Однако, если 4-угольник принадлежит к определённому классу, то его площадь можно найти по заранее известным формулам:

• S=(a+c) h/2=e h, если 4-угольник - трапеция (здесь a и c - основания, e - средняя линия трапеции, h - высота, опущенная на одно из оснований трапеции;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, если ABCD - параллелограмм (здесь φ - угол между сторонами a и b, h - высота, опущенная на сторону a, d1 и d2 - диагонали);
• S=a b=d²/2, если ABCD - прямоугольник (d - диагональ);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, если ABCD - ромб (a - сторона ромба, φ - один из его углов, P - периметр);
• S=a²=P²/16=d²/2, если ABCD - квадрат.

Многоугольник

Чтобы найти площадь n-угольника, математики разбивают его на простейшие равные фигуры -треугольники, находят площадь каждого из них и затем складывают. Но если многоугольник относится к классу правильных, то используют формулу:

S=a n h/2=a² n/=P²/, где n - количество вершин (или сторон) многоугольника, a - сторона n-угольника, P - его периметр, h - апофема, т. е. отрезок, проведённый из центра многоугольника к одной из его сторон под углом 90°.

Круг

Круг - это совершенный многоугольник, имеющий бесконечное число сторон . Нам необходимо вычислить предел выражения справа в формуле площади многоугольника при числе сторон n, стремящемуся к бесконечности. В этом случае периметр многоугольника превратится в длину окружности радиуса R, которая будет границей нашего круга, и станет равен P=2 π R. Подставим это выражение в указанную выше формулу. Мы получим:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Найдём предел этого выражения при n→∞. Чтобы это сделать, учтём, что lim (cos (180°/n)) при n→∞ равен cos 0°=1 (lim - знак предела), а lim = lim при n→∞ равен 1/π (мы перевели градусную меру в радианную, используя соотношение π рад=180°, и применили первый замечательный предел lim (sin x)/x=1 при x→∞). Подставив в последнее выражение для S полученные значения, придём к известной формуле:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Единицы измерения

Применяются системные и внесистемные единицы измерения . Системные единицы относятся к СИ (Система Интернациональная). Это квадратный метр (кв. метр, м²) и единицы, производные от него: мм², см², км².

В квадратных миллиметрах (мм²), например, измеряют площадь сечения проводов в электротехнике, в квадратных сантиметрах (см²) - сечения балки в строительной механике, в квадратных метрах (м²) - квартиры или дома, в квадратных километрах (км²) - территории в географии.

Однако иногда используются и внесистемные единицы измерения, такие, как: сотка, ар (а), гектар (га) и акр (ас). Приведём следующие соотношения:

• 1 сотка=1 а=100 м²=0,01 га;
• 1 га=100 а=100 соток=10000 м²=0,01 км²=2,471 ас;
• 1 ас= 4046.856 м²=40,47 а=40,47 соток=0,405 га.

Формул для вычисления площади треугольника в интернете можно найти свыше 10. Немало из них применяется в задачах с известными сторонами и углами треугольника. Однако есть ряд сложных примеров где по условию задания известны только одна сторона и углы треугольника, или радиус описанной или вписанной окружности и еще одна характеристика. В таких случаях простую формулу применить не удастся.

Приведенные ниже формулы позволят решить 95 процентов задач в которых требуется найти площадь треугольника.
Перейдем к рассмотрению распространенных формул площади.
Рассмотрим треугольник изображен на рисунке ниже

На рисунке и далее в формулах введены классические обозначения всех его характеристик
a,b,c – стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности,
r – радиус вписанной окружности,
h[b],h[a],h[c] – высоты, проведенные в соответствии со сторонами a,b,c.
alpha, beta,hamma – углы возле вершин.

Основные формулы площади треугольника

1. Площадь равна половине произведения стороны треугольника на высоту опущенной к этой стороне. На языке формул это определение можно записать так

Таким образом, если известна сторона и высота - то площадь найдет каждый школьник.
Кстати, из этой формулы можно вывести одну полезную зависимость между высотами

2. Если учесть, что высота треугольника через соседнюю сторону выражается зависимостью

То с первой формулы площади следуют однотипные вторые

Внимательно посмотрите на формулы - их легко запомнить, поскольку в произведении фигурирует две стороны и угол между ними. Если правильно обозначить стороны и углы треугольника (как на рисунке выше) то получим две стороны a,b и угол связан с третьей С (hamma).

3. Для углов треугольника справедливо соотношение

Зависимость позволяет применять в вычислениях следующие формулы площади треугольника

Примеры на эту зависимость встречаются крайне редко, но помнить что есть такая формула Вы должны.

4. Если известна сторона и два прилегающих угла то площадь находится по формуле

5. Формула площади через сторону и котангенс прилегающих углов следующая

Перестановкой индексов можете получить зависимости для других сторон.

6. Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.

7. Формула Герона применяют в примерах с известными сторонами треугольника.
Сначала находят полупериметр треугольника

А затем определяют площадь по формуле

или

Ее довольно часто используют в коде программ калькуляторов.

8. Если известны все высоты треугольника то площадь определяют по формуле

Она сложна для вычисления на калькуляторе, однако в пакетах MathCad, Mathematica, Maple площадь находится на «раз два ».

9. Следующие формулы используют известны радиусы вписанных и описанных окружностей.

В частности, если известно радиус и стороны треугольника, или его периметр то площадь вычисляется согласно формуле

10. В примерах где задано стороны и радиус или диаметр описанной окружности площадь находят по формуле

11. Следующая формула определяет площадь треугольника через сторону и углы треугольника.

Ну и напоследок - частные случаи:
Площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b равна половине их произведения

Формула площади равностороннего (правильного) треугольника =

= одной четвертой произведения квадрату стороны на корень из тройки.