Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Касательная онлайн калькулятор. Касательная к графику функции |
На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой. Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами: а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых); В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач: 1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит; Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид y = f(a) + f "(a)(x – a) (сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x) 1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания. Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения. Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной . В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:
Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2). Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как 1. a = 3 – абсцисса точки касания. Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6). Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).
Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. 6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a), Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:
Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1. 1. a – абсцисса точки касания. Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3). 4. 1) a = – 1; y = 9x + 8 – уравнение касательной; 1) a = 3; y = 9x – 24 – уравнение касательной. Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4). Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4. 1. a = 4 – абсцисса точки касания. y = x – 7 – уравнение касательной. Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи. 1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5). Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1. 1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла. Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен . Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3. Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда 1. – абсцисса второй точки касания. Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1. 2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6). 1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x 2 + x + 1. 1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции Так как касательные общие, то Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные. Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных. 3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c? Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 . Составим и решим систему уравнений Ответ: Инструкция Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М. Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f"(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной. Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы. Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а». Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f "(a). В результате будет найдено решение графика и касательной. Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной. Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо производную функции , чтобы координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию. Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информацииПод персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицамМы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения:
Защита персональной информацииМы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компанииДля того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке . Возьмем на касательной произвольную точку с координатами : И рассмотрим прямоугольный треугольник : В этом треугольнике Отсюда Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке . Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и . Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной. 1. Дана точка касания 2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке . 3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания. Рассмотрим каждый тип задач. 1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке . . б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции Подставим найденные значения в уравнение касательной: Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим: Ответ: . 2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс. Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю. а) Найдем производную функции . б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси : Приравняем каждый множитель к нулю, получим: Ответ: 0;3;5 3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой . Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания . Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной. Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания. а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1. Сначала найдем уравнение производной. Приравняем производную к числу -1. Найдем значение функции в точке . (по условию) . б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке . Найдем значение функции в точке . (по условию). Подставим эти значения в уравнение касательной: . Ответ: 4 . Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции. Title="1sqrt{8-3^2}">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания. Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания . Найдем значение . Пусть - точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство: . Значение функции в точке равно . Найдем значение производной функции в точке . Сначала найдем производную функции . Это . Производная в точке равна . Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно : Решим это уравнение. Сократим числитель и знаменатель дроби на 2: Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим: Упростим числитель дроби и умножим обе части на - это выражение строго больше нуля. Получим уравнение Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе. Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }"> Решим первое уравнение. Решим квадратное уравнение, получим Второй корень не удовлетворяет условию title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна . Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение - мы его уже записывали. Ответ:
А что будет, если производная в точке x 0 не существует? Возможны два варианта:
Уравнение касательнойВсякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b , где k - угловой коэффициент. Касательная - не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x 0 , достаточно знать значение функции и производной в этой точке. Итак, пусть дана функция y = f (x ), которая имеет производную y = f ’(x ) на отрезке . Тогда в любой точке x 0 ∈ (a ; b ) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0) Здесь f ’(x 0) - значение производной в точке x 0 , а f (x 0) - значение самой функции.
Уравнение касательной: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точка x 0 = 2 нам дана, а вот значения f (x 0) и f ’(x 0) придется вычислять. Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f
(x
0) = f
(2) = 2 3 = 8;
В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие - укажем лишь ключевые шаги. Имеем: f
(x
0) = f
(π
/2) = 2sin (π
/2) + 5 = 2 + 5 = 7; Уравнение касательной: y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7 В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет - просто мы наткнулись на точку экстремума. |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги