Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Алгоритм решения дробного уравнения привести примеры. ОДЗ. Область Допустимых Значений |
В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений , которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно. Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение. У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком. Итак, начнем. 1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40 Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой - число. 1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой. 2. Перемножим их. 3. Введем замену переменной. В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2: В этом месте замена переменной становится очевидной: Получаем уравнение Ответ:
2 . Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому: 1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым. 2. Перемножаем каждую пару скобок. 3. Из каждого множителя выносим за скобку х. 4. Делим обе части уравнения на . 5. Вводим замену переменной. В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как : Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель : Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим: Получим уравнение: Ответ:
3
. Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим: Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х: Теперь можем ввести замену переменной: Получим уравнение относительно переменной t:
4 . Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным . Чтобы его решить, 1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим: 2. Сгруппируем слагаемые таким образом: 3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель: 4. Введем замену: 5. Выразим через t выражение : Отсюда Получим уравнение относительно t: Ответ:
5. Однородные уравнения. Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать. Однородные уравнения имеют такую структуру: В этом равенстве А, В и С - числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень (в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует. Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения. Пойдем первым путем. Получим уравнение: Теперь мы вводим замену переменной: Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t: Ответ: или
7
. Это уравнение имеет такую структуру: Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат. Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение. Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно Теперь прикинем, что нам удобнее иметь - квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений: Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение: Презентация и урок на тему: "Рациональные уравнения. Алгоритм и примеры решения рациональных уравнений"Дополнительные материалы
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Знакомство с иррациональными уравнениямиРебята, мы научились решать квадратные уравнения. Но математика только ими не ограничивается. Сегодня мы научимся решать рациональные уравнения. Понятие рациональных уравнений во многом схоже с понятием рациональных чисел. Только помимо чисел теперь у нас введена некоторая переменная $х$. И таким образом мы получаем выражение, в котором присутствуют операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.Пусть $r(x)$ – это рациональное выражение
. Такое выражение может представлять из себя простой многочлен от переменной $х$ или отношение многочленов (вводится операция деления, как для рациональных чисел). Рассмотрим примеры решения рациональных уравнений.Пример 1.Решить уравнение: $\frac{5x-3}{x-3}=\frac{2x-3}{x}$. Решение. Дробь равна нулю, тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Тогда отдельно приравняем числитель к нулю и найдем корни числителя. Если вдруг, один из корней числителя совпал с корнем знаменателя, то его следует исключить. Такие корни называются посторонними! Алгоритм решения рациональных уравнений:1. Все выражения, содержащиеся в уравнении, перенести в левую сторону от знака равно.2. Преобразовать эту часть уравнения к алгебраической дроби: $\frac{p(x)}{q(x)}=0$. 3. Приравнять полученный числитель к нулю, то есть решить уравнение $p(x)=0$. 4. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Если корни знаменателя совпали с корнями числителя, то их следует исключить из ответа. Пример 2. Решение. Решать рациональные уравнения удобно с помощью метода замены переменных. Давайте это продемонстрируем. Пример 3. Решение. Пример 4. Пример 5. Решение. Задачи для самостоятельного решенияРешить уравнения:1. $\frac{3x+2}{x}=\frac{2x+3}{x+2}$. 2. $\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x^2+2x}=\frac{4}{x}$. Дробные уравнения. ОДЗ.Внимание! Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения . Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения . Это одно и то же. Дробные уравнения.Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе . Хотя бы в одном. Например: Напомню, если в знаменателях только числа , это линейные уравнения. Как решать дробные уравнения ? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну. Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования. Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение: Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение? В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2) . Умножаем: Это обычное умножение дробей, но распишу подробно: Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2) ! Так, целиком, её и пишу: В левой части сокращается целиком (х+2) , а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение: А это уравнение уже решит всякий! х = 2 . Решим ещё один пример, чуть посложнее: Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можно записать: И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей. Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2) . А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть: Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку! А вот теперь уже раскрываем скобки: Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем: Но до того мы другие задачи научимся решать. На проценты. Те ещё грабли, между прочим! Если Вам нравится этот сайт...Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.) Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!) можно познакомиться с функциями и производными. |
(х2-2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5) | |||
(х2-2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0 | |||
х(х-5)(х2-2х-5-(х+5))=0 | х2-2х-5-х-5=0 |
||
х(х-5)(х2-3х-10)=0 | |||
х=0 х-5=0 х2-3х-10=0 | |||
х1=0 х2=5 D=49 | |||
Ответ : 0;5;-2. | Ответ : 5;-2. |
Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?
До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.
- Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной
.) Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство
.) Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку
.)
При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.
х2-3х-10=0 , D=49 , х1=5 , х2=-2.
Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.
Если х=-2, то х(х-5)≠0.
Ответ : -2.
Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:
1. Перенести все в левую часть.
2. Привести дроби к общему знаменателю.
3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
4. Решить уравнение.
5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
6. Записать ответ.
Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).
4. Первичное осмысление нового материала.
Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8»,2007: № 000(б, в,и); № 000(а, д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.
б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.
в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.
а) Ответ: -12,5.
ж) Ответ: 1;1,5.
5. Постановка домашнего задания.
2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
3. Решить в тетрадях № 000(а, г,д); № 000(г, з).
4. Попробовать решить № 000(а)(по желанию).
6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.
Работа выполняется на листочках.
Пример задания:
А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?
Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .
В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?
Г) Решить уравнение №7.
Критерии оценивания задания:
- «5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания. «4» - 75%-89% «3» - 50%-74% «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания. Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.
7. Рефлексия.
На листочках с самостоятельной работой поставьте:
- 1 – если на уроке вам было интересно и понятно; 2 – интересно, но не понятно; 3 – не интересно, но понятно; 4 – не интересно, не понятно.
8. Подведение итогов урока.
Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.
Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?
Всем спасибо, урок окончен.
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги