Доверительные интервалы прогноза

Тема 8. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называется точечным прогнозом . На практике в дополнение к точечному определяют границы возможного значения прогнозированного показателя, то есть вычисляют интервальный прогноз.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал прогноза определяется в следующем виде:

Ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sр, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу строится на анализе случайной компоненты. Случайная (остаточная) компонента получается после выделения из исследуемого ряда тренда и периодической составляющей. Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный периодическими колебаниями, то есть примем гипотезу об аддитивной модели временного ряда:

Тогда ряд случайной компоненты будет получен как отклонение фактических уровней временного ряда (yt) от выровненных, расчетных

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений et от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей тренд, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, так как они могут коррелировать между собой. В этом случае имеет место явление автокорреляции.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности .

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном.

Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка (то есть между соседними остаточными уровнями ряда). Значение этого критерия определяется по формуле:

d=

Можно показать, что величина d приближенно равна:

где r1- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e1, e2, ... ,en-1 и e2, e3, ..., en).

Из последней формулы видно, что если в значениях et имеется сильная положительная автокорреляция ,то величина d=0 , в случае сильной отрицательной автокорреляции d=4. При отсутствии автокорреляции .

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции. Авторами критерия границы определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости.

Рассчитанные значения d сравнивают с табличными значениями. Здесь (в таблице): d1 и d2 - соответственно нижняя и верхняя доверительная граница критерия d;

К – число переменных в модели

n – длина ряда.

При сравнении величины d с d1 и d2 возможны следующие ситуации:

2) d< d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

3) d> d2, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отвергается;

4) d1≤ d≤ d2, то нет достаточных основании для принятия решений, величина попадает в область неопределенности.

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция. Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в et существует отрицательная автокорреляция. Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d1 и d2 сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, небольшие, то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно на основе исследования показателей ассиметрии и эксцесса .

При нормальном распределении показатели ассиметрии и эксцесса равны нулю.

Э=

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

,

то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств:

,

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве “уровень -- время” и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, при построении доверительного интервала прогноза следует учесть оценку колеблемости или вариации уровней ряда. Обычно такой оценкой является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда.

Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, необходимо сделать оговорку о некоторой условности рассматриваемого ниже расчета. То, что следует далее, является в некоторой мере произвольным перенесением результатов, найденных для регрессии выборочных показателей, на анализ динамических рядов. Дело в том, что предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может, по существу, безоговорочно утверждаться при анализе динамических рядов.

Полученные в ходе статистического оценивания параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производилось оценивание, ограничен, и в некотором смысле эту информацию можно рассматривать как выборку. Во всяком случае смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как

• ? расчетное значение yt;

Если t = i + L то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени.

Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами и представляет собой некоторую “естественную доверительную область” для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться. Прежде всего потому, что каждая из возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них -- через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный “доверительный интервал” теряет всякий смысл.

При условии учета стандартных ошибок оценок параметров уравнения тренда (которые по определению являются выборочными, а следовательно, могут не являться оценками неизвестных генеральных параметров из-за проявления случайной ошибки репрезентативности), и не рассматривая последовательность преобразований получим общую формулу доверительного интервала прогноза.

где - значение прогноза, рассчитанного по уравнению тренда на период t+L

Средняя квадратическая ошибка тренда;

К - коэффициент, учитывающий ошибки коэффициентов уравнения тренда

Значение t-статистики Стьюдента.

Коэффициент К рассчитывается следующим образом

n ? число наблюдений (длина ряда динамики);

L - число прогнозов

Значение К зависит только от п и L, т. е. продолжительности наблюдения и периода прогнозирования.

Одной из центральных задач эконометрического моделирования является предсказание (прогнозирование) значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных при определенных значениях объясняющих переменных. Здесь возможен двоякий подход: либо предсказать условное математическое ожидание зависимой переменной (предсказание среднего значения ), либо прогнозировать некоторое конкретное значение зависимой переменной (предсказание конкретного значения ).

Замечание. Некоторые авторы различают такие понятия, как прогнозирование и предсказание. Если значение объясняющей переменной X известно точно, то оценивание зависимой переменной Y называется предсказанием . Если же значение объясняющей переменной X неизвестно точно, то говорят, что делается прогноз значения Y . Такая ситуация характерна для временных рядов. В данном случае мы не будем различать предсказание и прогноз.

Различают точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка – некоторое число, во втором – интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем значимости.

а) Предсказание среднего значения . Пусть построено уравнение парной регрессии , на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание . В данном случае значение является точечной оценкой . Тогда естественно возникает вопрос, как сильно может отклониться модельное значение , рассчитанное по эмпирическому уравнению, от соответствующего условного математического ожидания. Ответ на этот вопрос даётся на основе интервальных оценок, построенных с заданным уровнем значимости a при любом конкретном значении x p объясняющей переменной.

Запишем эмпирическое уравнение регрессии в виде

Здесь выделены две независимые составляющие: средняя и приращение . Отсюда вытекает, что дисперсия будет равна

Из теории выборки известно, что

Используя в качестве оценки s 2 остаточную дисперсию S 2 , получим

Дисперсия коэффициента регрессии, как уже было показано

Подставляя найденные дисперсии в (5.41), получим

. (5.56)

Таким образом, формула расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии среднего значения Y имеет вид

. (5.57)

Величина стандартной ошибки , как видно из формулы, достигает минимума при , и возрастает по мере удаления от в любом направлении. Иными словами, больше разность между и , тем больше ошибка с которой предсказывается среднее значение y для заданного значения x p . Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если значения x p находятся в центре области наблюдений X и нельзя ожидать хороших результатов прогноза по мере удаления от .

Случайная величина

(5.58)

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n=n –2 (в рамках нормальной классической модели ). Следовательно, по таблице критических точек распределения Стьюдента по требуемому уровню значимости a и числу степеней свободы n=n –2 можно определить критическую точку , удовлетворяющую условию

.

С учетом (5.46) имеем:

.

Отсюда, после некоторых алгебраических преобразований, получим, что доверительный интервал для имеет вид:

, (5.59)

где предельная ошибка D p имеет вид

. (5.60)

Из формул (5.57) и (5.60) видно, что величина (длина) доверительного интервала зависит от значения объясняющей переменной x p : при она минимальна, а по мере удаления x p от величина доверительного интервала увеличивается (рис. 5.4). Таким образом, прогноз значений зависимой переменной Y по уравнению регрессии оправдан, если значение x p объясняющей переменной X не выходит за диапазон ее значений по выборке (причем более точный, чем ближе x p к ). Другими словами, экстраполяция кривой регрессии, т.е. её использование вне пределов обследованного диапазона значений объясняющей переменной (даже если она оправдана для рассматриваемой переменной исходя из смысла решаемой задачи) может привести к значительным погрешностям .

б) Предсказание индивидуальных значений зависимой переменной . На практике иногда более важно знать дисперсию Y , чем ее средние значения или доверительные интервалы для условных математических ожиданий. Это связано с тем, что фактические значения Y варьируют около среднего значения . Индивидуальные значения Y могут отклоняться от на величину случайной ошибки e, дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S 2 . Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения Y должны включать не только стандартную ошибку , но и случайную ошибку S . Это позволяет определять допустимые границы для конкретного значения Y .

Пусть нас интересует некоторое возможное значение y 0 переменной Y при определенном значении x p объясняющей переменной X . Предсказанное по уравнению регрессии значение Y при X =x p составляет y p . Если рассматривать значение y 0 как случайную величину Y 0 , а y p – как случайную величину Y p , то можно отметить, что

,

.

Случайные величины Y 0 и Y p являются независимыми, а следовательно, случайная величина U = Y 0 –Y p имеет нормальное распределение с

И . (5.61)

Используя в качестве s 2 остаточную дисперсию S 2 , получим формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии индивидуального значения Y :

. (5.63)

Случайная величина

(5.64)

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k =n –2. На основании этого можно построить доверительный интервал для индивидуальных значений Y p :

, (5.65)

где предельная ошибка D u имеет вид

. (5.66)

Заметим, что данный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания (см. рис. 5.4).

Пример 5.5. По данным примеров 5.1-5.3 рассчитать 95%-ый доверительный интервал для условного математического ожидания и индивидуального значения при x p =160.

Решение. В примере 5.1 было найдено . Воспользовавшись формулой (5.48), найдем предельную ошибку для условного математического ожидания

Тогда доверительный интервал для среднего значения на уровне значимости a=0,05 будет иметь вид

Другими словами, среднее потребление при доходе 160 с вероятностью 0,95 будет находиться в интервале (149,8; 156,6).

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объёмов потребления при уровне дохода x p =160, т.е. доверительный интервал для индивидуального значения . Найдем предельную ошибку для индивидуального значения

Тогда интервал, в котором будут находиться, по крайней мере, 95% индивидуальных объёмов потребления при доходе x p =160, имеет вид

Нетрудно заметить, что он включает в себя доверительный интервал для условного среднего потребления. â

ПРИМЕРЫ

Пример 5.65. По территориям региона приводятся данные за 199X г. (таб. 1.1).

2. Построить линейное уравнение парной регрессии y на x и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.

3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F -критерия Фишера.

4. Выполнить прогноз заработной платы y при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума x , составляющем 107% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости a=0,05. Сделать выводы.

Решение

1. Для определения степени тесноты связи обычно используют коэффициент корреляции :

где , – выборочные дисперсии переменных x и y . Для расчета коэффициента корреляции строим расчетную таблицу (табл. 5.4):

Таблица 5.4

По данным таблицы находим:

, , , ,

, , , ,

, .

Таким образом, между заработной платой (y) и среднедушевым прожиточным минимумом (x) существует прямая достаточно сильная корреляционная зависимость .

Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитаем двухсторонний t-критерий Стьюдента :

который имеет распределение Стьюдента с k =n –2 и уровнем значимости a. В нашем случае

и .

Поскольку , то коэффициент корреляции существенно отличается от нуля.

Для значимого коэффициента можно построить доверительный интервал , который с заданной вероятностью содержит неизвестный генеральный коэффициент корреляции. Для построения интервальной оценки (для малых выборок n <30), используют z-преобразование Фишера :

Распределение z уже при небольших n является приближенным нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией . Поэтому вначале строят доверительный интервал для M[z ], а затем делают обратное z -преобразование. Применяя z -преобразование для найденного коэффициента корреляции, получим

Доверительный интервал для M(z ) будет иметь вид

,

где t g находится с помощью функции Лапласа F(t g)=g/2. Для g=0,95 имеем t g =1,96. Тогда

или . Обратное z -преобразование осуществляется по формуле

В результате находим

.

В указанных границах на уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции r.

2. Таким образом, между переменными x и y имеет существенная корреляционная зависимость. Будем считать, что эта зависимость является линейной. Модель парной линейной регрессии имеет вид

,

где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная, e – случайные отклонения, b 0 и b 1 – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

где b 0 и b 1 – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК ). В соответствие с МНК, сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от теоретических была минимальной:

,

где – отклонения y i от оцененной линии регрессии. Необходимым условием существования минимума функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам b 0 и b 1 . В результате получаем систему нормальных уравнений:

Решая эту систему, найдем

, .

По данным таблицы находим

Получено уравнение регрессии:

Параметр b 1 называется коэффициентом регрессии . Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением среднедушевого минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб .

,

где F подчиняется распределению Фишера с уровнем значимости a и степенями свободы k 1 =1 и k 2 =n –2. В нашем случае

.

Поскольку критическое значение критерия равно

и , то признается статистическая значимость построенного уравнения регрессии. Отметим, что для линейной модели F - и t -критерии связаны равенством , что можно использовать для проверки расчётов.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Прогнозное значение y p определяется путем подстановки в уравнение регрессии (1.16) соответствующего (прогнозного) значения x p

ЛЕКЦИЯ 5 99

§5.2. Анализ точности оценок коэффициентов регрессии 99

5.2.1. Оценка дисперсии случайного отклонения 99

5.2.2. Проверка гипотез относительно коэффициентов регрессии 100

5.2.3. Интервальные оценка коэффициентов регрессии 103

§5.3. Показатели качества уравнения регрессии 104

5.3.1. Коэффициент детерминации 104

5.3.2. Проверка общего качества уравнения регрессии: F-тест 106

5.3.3. Проверка общего качества уравнения регрессии: t-тест 108

§5.4. Интервалы прогноза по уравнению регрессии 108

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Планирование и прогнозирование

в условиях рынка»

на тему: Доверительные интервалы прогноза

Оценка адекватности и точности моделей

Глава 1. Теоретическаячасть

Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.1 Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

где n- длина временного ряда;

L -период упреждения;

y n + L -точечный прогноз на момент n+L;

t a - значение t-статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию

t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t 1 = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

где y t - фактические значения уровней ряда,

n - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Глава 2. Практическая часть

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Планирование и прогнозирование

в условиях рынка»

на тему: Доверительные интервалы прогноза

Оценка адекватности и точности моделей

Глава 1. Теоретическая часть. 3

Глава 2. Практическая часть. 9

Список используемой литературы.. 13

Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.1 Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

где n - длина временного ряда;

L -период упреждения;

y n + L -точечный прогноз на момент n+L;

t a - значение t-статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:

(1.2.),

где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t 1 = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;

Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

(1.3.),

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

(1.4.),

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

(1.5.),

(1.6.),

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

(1.7.),

где y t - фактические значения уровней ряда,

Расчетные значения уровней ряда,

n - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка

,

где - период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

На 1 день вперед (=1);

На 2 дня вперед (=2).

Решение задания 1.5

1. Определим

Найдем значения экспоненциальной средней при а =0,1.

. а =0,1 – по условию;

; S 1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

; S 2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

; S 3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.

а =0,5 – по условию.

; S 1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

; S 2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Экспоненциальные средние

Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С – экспоненциальная средняя при альфа = 0,5

При а =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.

Прогноз на 1 день вперед (= 1):

Прогноз на 2 дня вперед (= 2):

1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ, 2003. – 52с.

2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 1997.