В некоторых случаях исследователь не знает заранее, по какому именно закону распределены наблюдаемые значение исследуемого признака. Но у него могут быть достаточно веские причины предполагать, что распределение подчинено тому или иному закону, например, нормальному или равномерному. В этом случае выдвигаются основная и альтернативная статистические гипотезы следующего вида:

H 0: распределение наблюдаемого признака подчинено закону распределения A ,

H 1: распределение наблюдаемого признака отличается от A ;

где в качестве A может выступать тот или иной закон распределения: нормальный, равномерный, показательный и т. д.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения проводится при помощи так называемых критериев согласия. Имеется несколько критериев согласия. Наиболее универсальным из них является -критерий Пирсона, так как он применим к любому виду распределения.

-Критерий Пирсона

Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются. Случайно ли расхождение частот? Критерий Пирсона дает ответ на этот вопрос, правда, как и любой статистический критерий, он не доказывает справедливость гипотезы в строго математическом смысле, а лишь устанавливает на определенном уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Итак, пусть по выборке объема получено статистическое распределение значений признака, где- наблюдаемые значения признака,- соответствующие им частоты:

Суть критерия Пирсона состоит в вычислении критерия по следующей формуле:

где - это число разрядов наблюдаемых значений, а- теоретические частоты соответствующих значений.

Понятно, что чем меньше разности , тем ближе эмпирическое распределение к эмпирическому, поэтому, чем меньше значение критерия, тем с большей достоверностью можно утверждать, что эмпирическое и теоретическое распределение подчинены одному закону.

Алгоритм критерия Пирсона

Алгоритм критерия Пирсона несложен и состоит в выполнении следующих действий:

Итак, единственным нетривиальным действием в этом алгоритме является определение теоретических частот. Они, разумеется, зависят от закона распределения, поэтому - для различных законов определяются по-разному.

Критерий Пирсона

Критерий Пирсона , или критерий χ 2 - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения . Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки.

Обозначим через X исследуемую случайную величину . Пусть требуется проверить гипотезу H 0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F (x ) . Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x ) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x ) и теоретического распределений производится с помощью специально подобранной случайной величины - критерия согласия . Одним из таких критериев и является критерий Пирсона.

Статистика критерия

Для проверки критерия вводится статистика:

где - предполагаемая вероятность попадения в i -й интервал, - соответствующее эмпирическое значение, n i - число элементов выборки из i -го интервала.

Эта величина в свою очередь является случайной (в силу случайности X) и должна подчиняться распределению χ 2 .

Правило критерия

Перед тем, как сформулировать правило принятия или отвержения гипотезы необходимо учесть, что критерий Пирсона обладает правосторонней критической областью .

Литература

• Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. - М.: Наука, 1973.

См. также

• Критерий Пирсона на сайте Новосибирского государственного университета
• Критерии типа хи-квадрат на сайте Новосибирского государственного технического университета (Рекомендации по стандартизации Р 50.1.033–2001)
• О выборе числа интервалов на сайте Новосибирского государственного технического университета
• О критерии Никулина на сайте Новосибирского государственного технического университета

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий Пирсона" в других словарях:

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи квадрат) наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая… … Википедия

Или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

- (максиминный критерий) один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Критерий крайнего пессимизма. История Критерий Вальда был предложен Абрахамом Вальдом в 1955 году для выборок равного объема, а затем распространен на … Википедия

Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… … Википедия

- (F критерий, φ* критерий, критерий наименьшей значимой разности) апостериорный статистический критерий, используемый для сравнения дисперсий двух вариационных рядов, то есть для определения значимых различий между групповыми средними в… … Википедия

Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости, если: где квантиль случайной величины при числе суммируемых… … Википедия

Статистический критерий, названный по имени Хьюберта Лиллиефорса, профессора статистики Университета Джорджа Вашингтона, являющийся модификацией критерия Колмогорова–Смирнова. Используется для проверки нулевой гипотезы о том, что выборка… … Википедия

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Т Крит … Википедия

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли… … Википедия

критерий независимости - для таблиц сопряженности проверяет гипотезу о том, что переменные строки и столбца независимы. К таким критериям относится критерий независимости хи квадрат (Пирсона) и точный критерий Фишера … Словарь социологической статистики

Книги

• Критерии проверки отклонения распределения от равномерного закона. Руководство по применению: монография , Лемешко Б.Ю.. Книга рассчитана на специалистов, в той или иной степени сталкивающихся в своей деятельности с вопросами статистического анализа данных с обработкой результатовэкспериментов, применением…

Пример 1 . Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.

Решение находим с помощью калькулятора .

.
Средняя взвешенная


Показатели вариации .
.

R = X max - X min
R = 21 - 5 = 16
Дисперсия


Несмещенная оценка дисперсии


Среднее квадратическое отклонение .

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 12.63 не более, чем на 4.7
.

.
нормальному закону




n = 200, h=2 (ширина интервала), σ = 4.7, x ср = 12.63

Её границу K kp = χ 2 (k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям σ, k = 9, r=2 (параметры x cp и σ оценены по выборке).
Kkp(0.05;6) = 12.59159; Kнабл = 22.86
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по нормальному закону . Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.

Пример 2 . Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X с эмпирическим распределением выборки объема n = 200.
Решение .
Таблица для расчета показателей.

Показатели центра распределения .
Средняя взвешенная


Показатели вариации .
Абсолютные показатели вариации .
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X max - X min
R = 2.3 - 0.3 = 2
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).


Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.


Среднее квадратическое отклонение .

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1.26 не более, чем на 0.49
Оценка среднеквадратического отклонения .

Проверка гипотез о виде распределения .
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где n* i - теоретические частоты:

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:
n = 200, h=0.2 (ширина интервала), σ = 0.49, x ср = 1.26

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия: