Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Степенная функция ее свойства и график таблица. Степенные функции, их свойства и графики. Степенные функции с рациональным показателем |
Функции у = ах, у = ax 2 , у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1 . В случае если n дробное число p / q с четным знаменателем q и нечетным числителем р , то величина может иметь два знака , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х , причем она симметрична верхней части. Видим график двузначной функции у = ±2х 1/2 , т. е. представленный параболой с горизонтальной осью. Графики функций у = х n при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Эти графики проходят через точку (1; 1). Когда n = -1 получаем гиперболу . При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1 , а потом ниже (при х > 1 ). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n . Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у , не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка. Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем. Степенная функция с натуральным показателемДля начала введем понятие степени с натуральным показателем. Определение 1 Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$. Рисунок 1. $a$ - основание степени. $n$ - показатель степени. Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график. Определение 2 $f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем. Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x^{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ ($n\in N)$. Свойства степенной функции с натуральным четным показателем$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна. Область значения -- $ \ Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty)$. $f{""}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}"=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$ Функция выпукла на всей области определения. Поведение на концах области определения: \[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] График (рис. 2). Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$ Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателемОбласть определения -- все действительные числа. $f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения. Область значения -- все действительные числа. $f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$ Функция возрастает на всей области определения. $f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$. $f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$ \ \ Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$. График (рис. 3). Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ Степенная функция с целым показателемДля начала введем понятие степени с целым показателем. Определение 3 Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой: Рисунок 4. Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график. Определение 4 $f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем. Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем Свойства степенной функции с отрицательным целым показателемОбласть определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна. $f(x)$ - непрерывна на всей области определения. Область значения: Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$. $f(x)\ge 0$ на всей области определения Представлены свойства и графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Основные формулы, области определения и множества значений, четность, монотонность, возрастание и убывание, экстремумы, выпуклость, перегибы, точки пересечения с осями координат, пределы, частные значения. Формулы со степенной функциейНа области определения степенной функции y = x p
имеют место следующие формулы: Свойства степенных функций и их графикиСтепенная функция с показателем равным нулю, p = 0Если показатель степенной функции y = x p
равен нулю, p = 0
,
то степенная функция определена для всех x ≠ 0
и является постоянной, равной единице: Степенная функция с натуральным нечетным показателем, p = n = 1, 3, 5, ...Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным нечетным показателем степени n = 1, 3, 5, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k + 1 , где k = 0, 1, 2, 3, ... - целое не отрицательное. Ниже представлены свойства и графики таких функций. График степенной функции y = x n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 1, 3, 5, ... . Область определения:
-∞ < x < ∞
Степенная функция с натуральным четным показателем, p = n = 2, 4, 6, ...Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n с натуральным четным показателем степени n = 2, 4, 6, ... . Такой показатель также можно записать в виде: n = 2k , где k = 1, 2, 3, ... - натуральное. Свойства и графики таких функций даны ниже. График степенной функции y = x n с натуральным четным показателем при различных значениях показателя степени n = 2, 4, 6, ... . Область определения:
-∞ < x < ∞
Степенная функция с целым отрицательным показателем, p = n = -1, -2, -3, ...Рассмотрим степенную функцию y = x p = x n
с целым отрицательным показателем степени n = -1, -2, -3, ...
.
Если положить n = -k
,
где k = 1, 2, 3, ...
- натуральное, то ее можно представить в виде: График степенной функции y = x n с целым отрицательным показателем при различных значениях показателя степени n = -1, -2, -3, ... . Нечетный показатель, n = -1, -3, -5, ...Ниже представлены свойства функции y = x n с нечетным отрицательным показателем n = -1, -3, -5, ... . Область определения:
x ≠ 0
Четный показатель, n = -2, -4, -6, ...Ниже представлены свойства функции y = x n с четным отрицательным показателем n = -2, -4, -6, ... . Область определения:
x ≠ 0
Степенная функция с рациональным (дробным) показателемРассмотрим степенную функцию y = x p с рациональным (дробным) показателем степени , где n - целое, m > 1 - натуральное. Причем, n, m не имеют общих делителей. Знаменатель дробного показателя - нечетныйПусть знаменатель дробного показателя степени нечетный: m = 3, 5, 7, ... . В этом случае, степенная функция x p определена как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента x . Рассмотрим свойства таких степенных функций, когда показатель p находится в определенных пределах. Показатель p отрицательный, p < 0Пусть рациональный показатель степени (с нечетным знаменателем m = 3, 5, 7, ... ) меньше нуля: . Графики степенных функций с рациональным отрицательным показателем при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное. Нечетный числитель, n = -1, -3, -5, ...Приводим свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -1, -3, -5, ... - нечетное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
x ≠ 0
Четный числитель, n = -2, -4, -6, ...Свойства степенной функции y = x p с рациональным отрицательным показателем , где n = -2, -4, -6, ... - четное отрицательное целое, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
x ≠ 0
Показатель p положительный, меньше единицы, 0 < p < 1График степенной функции с рациональным показателем (0 < p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное. Нечетный числитель, n = 1, 3, 5, ...< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < +∞
Четный числитель, n = 2, 4, 6, ...Представлены свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем , находящимся в пределах 0 < p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < +∞
Показатель p больше единицы, p > 1График степенной функции с рациональным показателем (p > 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное. Нечетный числитель, n = 5, 7, 9, ...Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 5, 7, 9, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < ∞
Четный числитель, n = 4, 6, 8, ...Свойства степенной функции y = x p с рациональным показателем, большим единицы: . Где n = 4, 6, 8, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное. Область определения:
-∞ < x < ∞
Знаменатель дробного показателя - четныйПусть знаменатель дробного показателя степени четный: m = 2, 4, 6, ... . В этом случае, степенная функция x p не определена для отрицательных значений аргумента. Ее свойства совпадают со свойствами степенной функции с иррациональным показателем (см. следующий раздел). Степенная функция с иррациональным показателемРассмотрим степенную функцию y = x p с иррациональным показателем степени p . Свойства таких функций отличаются от рассмотренных выше тем, что они не определены для отрицательных значений аргумента x . Для положительных значений аргумента, свойства зависят только от величины показателя степени p и не зависят от того, является ли p целым, рациональным или иррациональным. y = x p при различных значениях показателя p . Степенная функция с отрицательным показателем p < 0Область определения:
x > 0
Степенная функция с положительным показателем p > 0Показатель меньше единицы 0 < p < 1Область определения:
x ≥ 0
Показатель больше единицы p > 1Область определения:
x ≥ 0
Использованная литература: Степенной называется функция вида y=x n (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них. Линейная функция y=x 1 (y=x)График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох. График представлен ниже. Основные свойства линейной функции:
Квадратичная функция y=x 2Графиком квадратичной функции является парабола. Основные свойства квадратичной функции:
|
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги