Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Смежные углы. Полные уроки — Гипермаркет знаний |
Что такое смежный уголУгол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).
Смежные углы - (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. рис. 2 На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 - дополнительные полупрямые. рис. 3 На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D - точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C. Теорема о смежных углахТеорема: сумма смежных углов равна 180° Доказательство:
Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° - тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом - тупой угол. А угол смежный с тупым углом - острый угол. Смежные углы - два угла с общей вершиной, одна из сторон которых - общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°. Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. Определение 1.1.
Углом называют фигуру, состоящую из точки - вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла. Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым. Определение 3. Прямой угол - это угол величиной в 90 градусов. Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом. Определение 5.
Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом. Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными. Определение 7.
Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами. рис. 4 Связь математики с музыкой "Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства." Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =) Геометрия вокруг насГеометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке. Задание 1. 1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует? Задание 2. Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре. Задание 3. Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке. Решение задач1) Даны два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а смежные с ними - как 7: 5. Нужно найти эти углы.2) Известно, что один из смежных углов больше другого в 4 раза. Чему равны смежные углы? 3) Необходимо найти смежные углы, при условии, что один из них на 10 градусов больше от второго. Математический диктант на повторение ранее выученного материала1) Выполните рисунок: прямые a I b пересекаются в точке А. Отметьте меньший из образованных углов цифрой 1, а остальные углы – последовательно цифрами 2,3,4; дополняющие лучи прямой а - через а1 и а2, а прямой b - через b1 i b2.2) Пользуясь выполненным рисунком, впишите нужные значения и объяснения в места пропусков в тексте: а) угол 1 и угол …. смежные, поскольку... б) угол 1 и угол …. вертикальные, поскольку... в) если угол 1 = 60°, то угол 2 = ..., потому что... г) если угол 1 = 60°, то угол 3 = ..., потому что... Решите задачи: 1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°? 3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним. а) сумма 2-х углов из четырех 84°; Итог урока1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых? Домашнее задание: 1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго. Вопросы:
Г Л А В А I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. §11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ. 1. Смежные углы. Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами. Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы. Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74). Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d. Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу. Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла. Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен: 2d - 3 / 5 d = l 2 / 5 d . 2. Вертикальные углы. Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF - также вертикальные. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d - 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d . Таким же образом можно вычислить, чему равны /
3 и /
4. Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4. Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой. Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными. Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства. Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78): /
a +
/
c
= 2d
; (так как сумма смежных углов равна 2d ). / a + / c = / b + / c (так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ). В это равенство входит один и тот же угол с . Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой. При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов. Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве. В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем. 3. Сумма углов, имеющих общую вершину. На чертеже 79 /
1, /
2, /
3 и /
4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е. На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d . Упражнения. 1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов. 2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол. 3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы. 4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81? 5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла? 6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла? 7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов? Геометрия - это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила. Смежные и вертикальные углы - это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве. Образование углов Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла. Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток. Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов. Тупым является угол, превышающий 90 градусов. Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90. В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым. Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:
Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними. Вертикальные углы Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой. Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого. При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы. Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы. Вопрос 1.
Какие углы называются смежными? Вопрос 2.
Докажите, что сумма смежных углов равна 180°. Вопрос 3.
Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны. Из теоремы 2.1
следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны. Вопрос 4.
Какой угол называется прямым (острым, тупым)? Вопрос 5.
Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Вопрос 6.
Какие углы называются вертикальными? Вопрос 7.
Докажите, что вертикальные углы равны. Вопрос 8.
Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые. Вопрос 9.
Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых? Вопрос 10.
Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c 1 полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b 1 . Вопрос 11.
Что такое перпендикуляр к прямой? Вопрос 12.
Объясните, в чём состоит доказательство от противного. Вопрос 13.
Что называется биссектрисой угла? Из этого имеются . Если два угла одновременно являются и смежными, и равными, то они прямые. Если один из смежных углов является прямым, то есть составляет 90 градусов, то другой угол тоже прямой. Если один из смежных углов острый, то другой будет тупым. Аналогично, если один из углов тупой, то второй, соответственно, будет острым. Острый угол – это такой, градусная мера которого меньше 90 градусов, но больше 0. Тупой угол имеет градусную меру больше 90 градусов, но меньше 180. Другое свойство смежных углов формулируется так: если два угла равны, то углы, смежные с ними, также равны. Это , что если есть два угла, градусная мера для которых совпадает (например, она составляет 50 градусов) и при этом из них имеет смежный угол, то значения этих смежных углов тоже совпадают (в примере их градусная мера будет равна 130 градусам). Источники:
Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы. Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно. В качестве единицы измерения углов принят – 1/180 |
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги