При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массойm . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.

Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?

На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:

Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:

Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).

Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:

Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:

;

Ответ : тела будут двигаться с ускорением
.

1. Движение под действием переменных сил

Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным.Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.

Задача 11. Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя) движется по спокойной воде. После падения водителя на крутом вираже и автоматической остановки двигателя скорость мотоцикла при его дальнейшем движении по прямой за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу сопротивления движению пропорциональной скорости (
), найти коэффициент сопротивления.

Движение вод-ного мотоцикла пос-ле остановки двигателя происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз, силы Архимеда, направленной вверх, и силы сопротивления, направленной противскорости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :

.

Выберем ось Ox вдоль направления движения. Тогда для этой оси уравнение можно переписать с учетом того, что проекции силы тяжести и силы Архимеда на горизонтальную ось равны нулю, а проекция силы сопротивления
:

.

Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:

(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).

Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:

.

Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:

.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:

.

Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:

;

.

Ответ : коэффициент сопротивления движению
.

В этой задаче необходимо найти отношение силы натяжения к

Рис. 3. Решение задачи 1 ()

Растянутая нить в этой системе действует на брусок 2, заставляя его двигаться вперед, но она также действует и на брусок 1, пытаясь препятствовать его движению. Эти две силы натяжения равны по величине, и нам как раз необходимо найти эту силу натяжения. В таких задачах необходимо упростить решение следующим образом: считаем, что сила является единственной внешней силой, которая заставляет двигаться систему трех одинаковых брусков, и ускорение остается неизменным, то есть сила заставляет двигаться все три бруска с одинаковым ускорением. Тогда натяжение всегда двигает только один брусок и будет равно mа по второму закону Ньютона. будет равно удвоенному произведению массы на ускорение, так как третий брусок находится на втором и нить натяжения должна уже двигать два бруска. В таком случае отношение к будет равно 2. Правильный ответ - первый.

Два тела массой и , связанные невесомой нерастяжимой нитью, могут без трения скользить по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы (Рис. 4). Чему равно отношение сил натяжения нити в случаях а и б?

Выбор ответа: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2 ()

Рис. 5. Решение задачи 2 ()

На бруски действует одна и та же сила, только в разных направлениях, поэтому ускорение в случае «а» и случае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вызывает ускорение двух масс. Но в случае «а» эта сила натяжения заставляет двигаться еще и брусок 2, в случае «б» это брусок 1. Тогда отношение этих сил будет равно отношению их масс и мы получим ответ - 1,5. Это третий ответ.

На столе лежит брусок массой 1 кг, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити подвешен груз массой 0,5 кг (Рис. 6). Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения бруска о стол составляет 0,35.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3 ()

Записываем краткое условие задачи:

Рис. 7. Решение задачи 3 ()

Необходимо помнить, что силы натяжения и как векторы разные, но величины этих сил одинаковы и равны Точно также у нас будут одинаковы и ускорения этих тел, так как они связаны нерастяжимой нитью, хотя направлены они в разные стороны: - горизонтально, - вертикально. Соответственно, и оси для каждого из тел выбираем свои. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел, при сложении внутренние силы натяжения сократятся, и получим обычное уравнение, подставив в него данные, получим, что ускорение равно .

Для решения таких задач можно пользоваться методом, который использовался в прошлом веке: движущей силой в данном случае является результирующая внешних сил, приложенных к телу. Заставляет двигаться эту систему сила тяжести второго тела, но мешает движению сила трения бруска о стол, в этом случае:

Так как движутся оба тела, то движущая масса будет равна сумме масс , тогда ускорение будет равно отношению движущей силы на движущую массу Так можно сразу прийти к ответу.

В вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы и , закреплен блок. По поверхности плоскостей при коэффициенте трения 0,2 движутся бруски кг и , связанные нитью, перекинутой через блок (Рис. 8). Найти силу давления на ось блока.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4 ()

Выполним краткую запись условия задачи и поясняющий чертеж (рис. 9):

Рис. 9. Решение задачи 4 ()

Мы помним, что если одна плоскость составляет угол в 60 0 с горизонтом, а вторая плоскость - 30 0 с горизонтом, то угол при вершине будет 90 0 , это обычный прямоугольный треугольник. Через блок перекинута нить, к которой подвешены бруски, они тянут вниз с одной и той же силой, и действие сил натяжения F н1 и F н2 приводит к тому, что на блок действует их результирующая сила. Но между собой эти силы натяжения будут равны, составляют они между собой прямой угол, поэтому при сложении этих сил получается квадрат вместо обычного параллелограмма. Искомая сила F д является диагональю квадрата. Мы видим, что для результата нам необходимо найти силу натяжения нити. Проведем анализ: в какую сторону движется система из двух связанных брусков? Более массивный брусок, естественно, перетянет более легкий, брусок 1 будет соскальзывать вниз, а брусок 2 будет двигаться наверх по склону, тогда уравнение второго закона Ньютона для каждого из брусков будет выглядеть:

Решение системы уравнений для связанных тел выполняется методом сложения, далее преобразовываем и находим ускорение:

Это значение ускорения необходимо подставить в формулу для силы натяжения и найти силу давления на ось блока:

Мы выяснили, что сила давления на ось блока приблизительно равна 16 Н.

Мы рассмотрели различные способы решения задач, которые многим из вас пригодятся в дальнейшем, чтобы понять принципы устройства и работы тех машин и механизмов, с которыми придется иметь дело на производстве, в армии, в быту.

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. - М.: Просвещение, 1990.

Домашнее задание

1. Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
2. Какие величины одинаковы у тел, связанных нерастяжимой нитью?

1. Интернет-портал Bambookes.ru ( ).
2. Интернет-портал 10klass.ru ().
3. Интернет-портал Festival.1september.ru ().

Цель урока: распространить решение прямой и обратной задачи механики на случай движения тела под действием нескольких сил и движение связанных тел.

Тип урока: комбинированный.

План урока: 1. Вступительная часть 1-2 мин.

2. Опрос 15 мин.

3. Объяснение 25 мин.

4. Задание на дом 2-3 мин.

II. Опрос фундаментальный: Движение под действием силы трения.

Задачи:

1. Чему должен быть равен минимальный коэффициент трения между шинами двух задних ведущих колес и поверхностью наклонной дороги с уклоном 30 0 , чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением 0,6 м/с 2 ? Нагрузка на колеса распределена равномерно. Размерами автомобиля пренебречь.

2. Брусок массой m из состояния покоя под действием силы F, направленной вдоль горизонтального стола, начинает двигаться по его поверхности. Через время Δt 1 действие силы F прекращается и, спустя время Δt 2 после этого, брусок останавливается. Чему равна сила трения, действующая на брусок во время движения? На какое расстояние брусок переместится за все время движения?

3. Два шарика одного и того же диаметра, имеющие массы 1 кг и 2 кг, связаны между собой легкой и длинной нерастяжимой нитью. Шарика сбросили с достаточно большой высоты над Землей. Найдите натяжение нити при установившемся падении шариков.

Вопросы:

1. Чем объяснить, что при буксовании колес тепловоза или автомобиля сила тяги значительно падает?
2. Равно ли время подъема камня, брошенного вертикально вверх, времени его падения?
3. Можно ли измерить среднюю скорость ветра, бросая с некоторой высоты легкий предмет. Например, кусочек ваты?
4. Если локомотив не может сдвинуть тяжелый поезд с места, то машинист применяет следующий прием: он дает задний ход и, толкнув состав немного назад, затем дает передний ход. Объясните.
5. Скрип дверных петель и пение скрипки объясняется тем, что максимальная сила трения покоя больше силы трения скольжения. Так ли это?
6. Почему скорость дождевых капель не зависит от высоты туч и сильно зависит от размеров капель?
7. Скорость падения капель одного ливня может различаться в 10 раз. Почему?
8. Почему взлет и посадка самолета всегда производится против ветра?
9. Камень брошен вертикально вверх. В каких точках траектории камень будет иметь максимальное ускорение, если сопротивление воздуха растет с увеличением скорости камня? Как будет изменяться скорость камня?

III . Объясните на примерах задач, решаемых учителем.

Задачи:

1. С каким ускорением движется брусок по наклонной плоскости с углом наклона 30 о при коэффициенте трения 0,2? При каком условии брусок будет скользить (tgα ≥ μ )? Рассмотреть оба случая: движение вверх, движение вниз.

2. Устройство, показанное на рис. 1, в котором два груза поддерживаются блоком, называется машиной Атвуда. Считая, что блок не обладает ни массой, ни трением, вычислите: а) ускорение системы; б) натяжение нити. Проверка справедливости второго закона Ньютона и измерение ускорения свободного падения с помощью машины Атвуда.

При записи уравнений движения связанных тел необходимо иметь в виду, что второй закон Ньютона формулируется для тела (одного) массой m . Следовательно, при описании движения связанных тел уравнение движения должно быть записано для каждого тела в отдельности, а действие тел друг на друга определяется силой реакции опоры, натяжения нити и т. д.

Задача 10. На столе находится небольшой деревянный брусок массой 290 г, к которому привязана нить, перекинутая через невесомый блок, закрепленный на краю стола. Ко второму концу нити привязан груз массой 150 г. С каким ускорением будут двигаться эти тела, если коэффициент трения дерева о стол равен 0,32?

На брусок (рис. 10), расположенный на столе, очевидно (см. задачу 8), действуют четыре силы: сила тяжести; сила реакции опоры; сила натяжения нити и сила трения. На груз, подвешенный на нити, перекинутой через блок, очевидно (см. задачу 7), действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. для каждого из этих тел, полагая, что их размерами в данной задаче можно пренебречь:

Координатные оси можно выбрать отдельно для каждого тела, поскольку после взятия проекций в формулах останутся только модули векторов (их длины), которые одинаковы во всех системах координат. Возьмем проекции векторов на координатные оси, добавим формулу для силы трения и получим:

Поскольку движущиеся тела связаны, то за одинаковый промежуток времени они будут проходить одинаковое расстояние. Отсюда следует, что модули ускорений, с которыми движутся эти тела, одинаковы. Силы натяжения нити, приложенные к бруску и к грузу, возникают вследствие взаимодействия этих тел и по модулю равны друг другу (более подробное объяснение равенства модулей этих сил будет приведено при изучении вращательного движения тел).

Решение системы уравнений выполним в следующем порядке: из второго уравнения выразим силу реакции опоры и подставим в третье уравнение, а получившееся при этом выражение для силы трения подставим в первое:

Сложим левые и правые части уравнений системы, при этом в правой части полученного выражения взаимно уничтожится неизвестная сила натяжения нити, а затем выразим ускорение:

;

Ответ : тела будут двигаться с ускорением
.

1. Движение под действием переменных сил

Если силы, действующие на тело, при его движении изменяются с течением времени, то ускорение, с которым движется тело, не будет оставаться постоянным. Это обстоятельство делает невозможным использование формул кинематики равноускоренного движения и требует применения дифференциального и интегрального исчисления при решении задач такого типа.

Задача 11. Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя) движется по спокойной воде. После падения водителя на крутом вираже и автоматической остановки двигателя скорость мотоцикла при его дальнейшем движении по прямой за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу сопротивления движению пропорциональной скорости (
), найти коэффициент сопротивления .

Движение вод-ного мотоцикла пос-ле остановки двигателя происходит под действием трех сил: силы тяжести, направленной вертикально вниз, силы Архимеда, направленной вверх, и силы сопротивления, направленной против скорости. На основании второго закона Ньютона запишем уравнение движения :

.

Выберем ось Ox вдоль направления движения. Тогда для этой оси уравнение можно переписать с учетом того, что проекции силы тяжести и силы Архимеда на горизонтальную ось равны нулю, а проекция силы сопротивления
:

.

Из уравнения видно, что ускорение, с которым движется водный мотоцикл, не остается постоянным с течением времени, а изменяется вместе с изменением скорости. По определению для ускорения при одномерном движении и произвольном характере зависимости ускорения от времени можно записать:

(именно поэтому в уравнении не взяты проекции скорости и ускорения).

Подставляя формулу в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция скорости от времени:

.

Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения, полагая, что секундомер был включен в момент выключения двигателя:

.

С учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил потенцирования, получим:

.

Если необходимо получить зависимость скорости от времени, то следует взять экспоненту от обеих частей выражения и применить к левой части основное логарифмическое тождество. В данной задаче искомую величину выразим непосредственно из формулы:

;

.

Ответ : коэффициент сопротивления движению
.

В этой задаче необходимо найти отношение силы натяжения к

Рис. 3. Решение задачи 1 ()

Растянутая нить в этой системе действует на брусок 2, заставляя его двигаться вперед, но она также действует и на брусок 1, пытаясь препятствовать его движению. Эти две силы натяжения равны по величине, и нам как раз необходимо найти эту силу натяжения. В таких задачах необходимо упростить решение следующим образом: считаем, что сила является единственной внешней силой, которая заставляет двигаться систему трех одинаковых брусков, и ускорение остается неизменным, то есть сила заставляет двигаться все три бруска с одинаковым ускорением. Тогда натяжение всегда двигает только один брусок и будет равно mа по второму закону Ньютона. будет равно удвоенному произведению массы на ускорение, так как третий брусок находится на втором и нить натяжения должна уже двигать два бруска. В таком случае отношение к будет равно 2. Правильный ответ - первый.

Два тела массой и , связанные невесомой нерастяжимой нитью, могут без трения скользить по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы (Рис. 4). Чему равно отношение сил натяжения нити в случаях а и б?

Выбор ответа: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2 ()

Рис. 5. Решение задачи 2 ()

На бруски действует одна и та же сила, только в разных направлениях, поэтому ускорение в случае «а» и случае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вызывает ускорение двух масс. Но в случае «а» эта сила натяжения заставляет двигаться еще и брусок 2, в случае «б» это брусок 1. Тогда отношение этих сил будет равно отношению их масс и мы получим ответ - 1,5. Это третий ответ.

На столе лежит брусок массой 1 кг, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити подвешен груз массой 0,5 кг (Рис. 6). Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения бруска о стол составляет 0,35.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3 ()

Записываем краткое условие задачи:

Рис. 7. Решение задачи 3 ()

Необходимо помнить, что силы натяжения и как векторы разные, но величины этих сил одинаковы и равны Точно также у нас будут одинаковы и ускорения этих тел, так как они связаны нерастяжимой нитью, хотя направлены они в разные стороны: - горизонтально, - вертикально. Соответственно, и оси для каждого из тел выбираем свои. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел, при сложении внутренние силы натяжения сократятся, и получим обычное уравнение, подставив в него данные, получим, что ускорение равно .

Для решения таких задач можно пользоваться методом, который использовался в прошлом веке: движущей силой в данном случае является результирующая внешних сил, приложенных к телу. Заставляет двигаться эту систему сила тяжести второго тела, но мешает движению сила трения бруска о стол, в этом случае:

Так как движутся оба тела, то движущая масса будет равна сумме масс , тогда ускорение будет равно отношению движущей силы на движущую массу Так можно сразу прийти к ответу.

В вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы и , закреплен блок. По поверхности плоскостей при коэффициенте трения 0,2 движутся бруски кг и , связанные нитью, перекинутой через блок (Рис. 8). Найти силу давления на ось блока.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4 ()

Выполним краткую запись условия задачи и поясняющий чертеж (рис. 9):

Рис. 9. Решение задачи 4 ()

Мы помним, что если одна плоскость составляет угол в 60 0 с горизонтом, а вторая плоскость - 30 0 с горизонтом, то угол при вершине будет 90 0 , это обычный прямоугольный треугольник. Через блок перекинута нить, к которой подвешены бруски, они тянут вниз с одной и той же силой, и действие сил натяжения F н1 и F н2 приводит к тому, что на блок действует их результирующая сила. Но между собой эти силы натяжения будут равны, составляют они между собой прямой угол, поэтому при сложении этих сил получается квадрат вместо обычного параллелограмма. Искомая сила F д является диагональю квадрата. Мы видим, что для результата нам необходимо найти силу натяжения нити. Проведем анализ: в какую сторону движется система из двух связанных брусков? Более массивный брусок, естественно, перетянет более легкий, брусок 1 будет соскальзывать вниз, а брусок 2 будет двигаться наверх по склону, тогда уравнение второго закона Ньютона для каждого из брусков будет выглядеть:

Решение системы уравнений для связанных тел выполняется методом сложения, далее преобразовываем и находим ускорение:

Это значение ускорения необходимо подставить в формулу для силы натяжения и найти силу давления на ось блока:

Мы выяснили, что сила давления на ось блока приблизительно равна 16 Н.

Мы рассмотрели различные способы решения задач, которые многим из вас пригодятся в дальнейшем, чтобы понять принципы устройства и работы тех машин и механизмов, с которыми придется иметь дело на производстве, в армии, в быту.

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) - М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. - М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика-9. - М.: Просвещение, 1990.

Домашнее задание

1. Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
2. Какие величины одинаковы у тел, связанных нерастяжимой нитью?

1. Интернет-портал Bambookes.ru ( ).
2. Интернет-портал 10klass.ru ().
3. Интернет-портал Festival.1september.ru ().