Самым мощным инструментом при решении сложных задач с параметрами является теорема Виета. Но здесь нужно быть предельно внимательным к формулировке.

Этих двух теорем (прямой и обратной)

Теорема Виета

Если уравнение имеет корни и ; то выполнены равенства .

Особенности теоремы:

Первое . Теорема верна только для уравнения и не верна для

В последнем случае нужно сначала разделить обе части уравнения на ненулевой коэффициент а при х 2 , а потом уже применять теорему Виета.

Второе. Для использования результатов теоремы необходимо иметь факт существования корней уравнений т.е. не забывать наложить условие D>0

Обратная

Теорема Виета

Если есть произвольные числа и то они являются корнями уравнения

Очень важное замечание , облегчающее решение задач: обратная теорема гарантирует существование корней в уравнении что позволяет не возится с дискриминантом. Он автоматически в этом случае неотрицателен.

	Условия на корни	Равносильное условие на коэффициенты а,в,с, и дискриминант D
	Корни существуют (и различны)
	Корни существуют и равны Причем
	Корни существуют и
	Корни существуют и
	Корни существуют и различны
	Корни существуют, один корень равен нулю, а другой >0

1). Установить, при каких значениях параметра уравнение

Не имеет корней.

Если уравнение не имеет корней, то необходимо и достаточно, чтобы дискриминант

имеет различные положительные корни .

Раз корни есть, то если они оба положительные, то и Воспользуемся формулой Виета, тогда для данного уравнения

⟹

Имеет различные отрицательные корни

Имеет корни разного знака

Имеет совпадающие корни

2). При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения будут положительными?

Решение.

Так как заданное уравнение является квадратным, то оба его корня (равные или различные) будут положительными, если дискриминант неотрицателен, а сумма и произведение корней положительны, то есть

Так как, а по теореме Виета,

То получим систему неравенств

3). Найти все значения параметра а неположительны.

Так как заданное уравнение является квадратным, то . Оба его корня (равные или различные) будут отрицательными или равными нулю, если дискриминант неотрицательный, сумма корней отрицательна или равна нулю, а произведение корней неотрицательно, то есть

а по теореме Виета

то получим систему неравенств.

откуда

4).При каких значениях параметра а равна 22.5 ?

Вначале предложим “ решение “, с которым нам не раз приходилось встречаться.

поскольку то получаем “Ответ” Однако при найденном значении а исходное уравнение корней не имеет.

В этом решении мы столкнулись с одной из “популярнейших” ошибок, связанной с применением теоремы Виета:

вести речь о корнях предварительно не выяснив, существуют они или нет.

Так, в данном примере, в первую очередь необходимо было установить, что лишь при исходное уравнение имеет корни. Только после этого можно обратится к выкладкам, приведенным выше.

Ответ: Таких а не существует.

5). Корни уравнения таковы, что Определить

Решение. По теореме Виета Возведем обе части первого равенства в квадрат Учитывая, что а получаем или Проверка показывает, что значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ :

6).При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение:

Найдем дискриминант данного уравнения. Имеем Здесь важно не сделать ошибочный вывод о том, что уравнение имеет два корня при любом а . оно действительно имеет два корня при любом, но допустимом а , т.е. при при

Используя теорему Виета, запишем

Таким образом, для получения ответа осталось найти наименьшее значение квадратичной функции

на множестве

Поскольку при а при то функция на указанном множестве принимает наименьшее значение в точке

Задачи для самостоятельного решения

1). Найти все значения параметра а , при которых корни квадратного уравнения

неотрицательны

2). Вычислить значение выражения ,где -корни уравнения

3). Найти все значения параметра а , при которых сумма квадратов действительных корней уравнения больше 6.

Ответ:

4).При каких значениях параметра а уравнение ах 2 -4х+а=0 имеет:

а) положительные корни

б) отрицательные корни

Расположение корней квадратичной функции относительно

заданных точек.

Для подобных задач характерна следующая формулировка: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа А; корни расположены между числами А и В; корни не принадлежат промежутку с концами в точках А и В и т.п.

При решении задач, связанных с квадратным трехчленом

часто приходится иметь дело со следующими стандартными ситуациями (которые мы сформулируем в виде «вопрос – ответ».

Вопрос 1 . Пусть дано число (1) оба его корня и больше т.е. ?

Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (7) должны удовлетворять условиям

где - абсцисса вершины параболы .

Справедливость сказанного вытекает из рис. 1, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что двух условий и еще недостаточно, чтобы корни и были больше На первом из рис. 1 штрихом изображена парабола, удовлетворяющая этим двум условиям, но ее корни меньше Однако, если к указанным двум условиям добавить, что абсцисса вершины параболы больше то и корни будут большими чем

Вопрос 2 . Пусть дано число При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и лежат на разные стороны от т.е. ?

Ответ. коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию

Справедливость сказанного вытекает из рис. 2, на котором отдельно представлены случаи и Отметим, что указанное условие гарантирует существование двух различных корней и квадратного трехчлена (1).

Вопрос 3 . При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) его корни и различны и только один из них лежит в заданном интервале

Ответ. Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условию

Вопрос 4. При каких условиях на коэффициенты квадратного трехчлена (1) множество его корней не пусто и все его корни и лежат в заданном интервале т.е.

Ответ . Коэффициенты квадратного трехчлена (1) должны удовлетворять условиям

Для решения таких задач полезно работать с таблицей, которая приведена ниже.

Корни многочлена

.

4. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется определить расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Опираясь на основные положения и обозначения предыдущего параграфа, рассмотрим следующие случаи:

1. Пусть задан квадратный трехчлен , где
и точка m на оси Ox . Тогда оба коня
квадратного трехчлена
будут строго меньше m

или

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 3.1 и 3.2.

2.Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m на оси Ox . Неравенство
выполняется тога и только тогда, когда числа a и
имеют разные знаки, то есть
(рис. 4.1 и 4.2.)

3. Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m на оси Ox . Тогда оба коня
квадратного трехчлена будут строго больше m тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

или

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 5.1 и 5.2.

4. Пусть задан квадратный трехчлен , где и интервал (m , M ) Тогда оба корня квадратного трехчлена принадлежат указанному интервалу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

или

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 6.1 и 6.2.

5. Пусть задан квадратный трехчлен , где , - его корни и отрезок
. Отрезок лежит в интервале
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 7.1 и 7.2.

Пример. Найти все значения параметра a , при каждом из которых оба корня уравнения
больше -2.

Решение. В условии задачи указано. Что уравнение имеет два корня, поэтому . Рассматриваемая ситуация описывается случаем 3 и изображена на рисунке 5.1. и 5.2.

Найдем ,
,

Учитывая все это, запишем совокупность двух систем:

или

Решая эти две системы, получим .

Ответ. При каждом значении параметра a из промежутка оба корня уравнения больше -2.

Пример. При каких значениях параметра a неравенство
выполняется для любых
?

Решение. Если множество X – решение данного неравенства, то условие задачи означает, что промежуток
должен находиться внутри множества X , то есть

.

Рассмотрим все возможные значения параметра а .

1.Если а=0 , то неравенство примет вид
, и его решением будет промежуток
. В этом случае условие выполняется и а=0 является решением задачи.

2.Если
, то графиком правой части неравенства является квадратный трехчлен, ветви которого направлены вверх. Решение неравенства зависит от знака .

Рассмотри случай, когда
. Тогда для того, чтобы для всех выполнялось неравенство , требуется, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа -1, то есть:

или

Решив эту систему, получим
.

Если
, то парабола лежит выше оси О x , и решением неравенства будет любое число из множества действительных числе, в том числе, и промежуток . Найдем такие а из условия:

или

Решив эту систему, получим
.

3.Если
, то при
решением неравенства является промежуток , который не может включать в себя промежуток , а при
данное неравенство не имеет решений.

Объединяя все найденные значения а , получим ответ.

Ответ. Для любого значения параметра из промежутка
неравенство выполняется для любых .

Пример. При каких значениях параметра а множество значений функции содержит отрезок
?

Решение. 1. Если
, то

а) при а = 1 функция примет вид y = 2, и множество ее значений состоит из единственной точки 2 и не содержит отрезок ;

б) при а = -1 функция примет вид y = -2 x +2 . Ее множество значений
содержит отрезок , значит а = -1 является решением задачи.

2.Если
, то ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы
:

,
.

Множество значений функции есть промежуток
, который содержит отрезок
, если выполняются условия:

.

3. Если
, то ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы
. Множество значений функции есть промежуток
, который содержит отрезок , если выполняются условия:

Решая эту систему неравенств, получим
.

Объединяя решения, получим
.

Ответ. При
множество значений функции содержит отрезок .

Задачи для самостоятельного решения

1. Не вычисляя корней квадратного уравнения
, найти

а)
, б)
, в)

2. Найти множество значений функции

а)
, б)
, в)
, г)

3. Решить уравнения

а)
, б)

4. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
лежат на интервале (-5, 4)?

5. При каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех значениях x ?

6. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции

На отрезке
равно -1?

7. При каких значениях параметра а уравнение
имеет корни?

Карпова Ирина Викторовна

ПРОГРАММА И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА по математике для учащихся 8-9 классов «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

Пояснительная записка

В настоящее время становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятносто-статистической базе.

Ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех – все это находится в сфере реальных интересов становления и саморазвития личности.

Все вышесказанное обусловливает необходимость знакомства ребенка с вероятностно-статистическими закономерностями.

Цель курса: познакомить учащихся с некоторыми теоретико-вероятностными закономерностями и статистическими методами обработки данных.

Задачи курса

Познакомить учащихся с основным понятийным аппаратом теории вероятностей.

Научить определять вероятность событий в классической схеме испытаний.

Познакомить с методами первичной обработки статистических данных.

Требования к уровню усвоения содержания курса

В результате освоения программы курса учащиеся должны знать:

основные понятия теории вероятностей: испытание, исход испытания, пространство элементарных событий, случайное, достоверное, невозможное события, совместные и несовместные события;

условия классической схемы испытаний и определение вероятности события в классической схеме испытаний;

определение относительной частоты появления события и статистической вероятности;

определение вариационного ряда и его основных числовых характеристик.

В процессе изучения курса учащиеся должны пробрести умения:

определять все возможные исходы испытания, совместность и несовместность событий;

решать теоретико-вероятностные задачи на вычисление вероятности в классической схеме испытаний;

вычислять относительную частоту появления события;

составлять статистическое распределение выборки и вычислять её числовые характеристики.

Программа предполагает развитие у учащихся навыков :

использования имеющихся алгоритмов и при необходимости их творческой переработки в конкретных условиях задачи;

самостоятельного решения задач;

использования при решении задач обобщенных схем, содержащих основные определения и формулы.

Объем курса: предлагаемый курс рассчитан на 20 часов

Тематическое планирование

Текст пособия

Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ – нужно было только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными .

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орёл» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Обратите внимание на слово «приблизительно» – закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей.

Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, рулетка и даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее чистом виде, и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.

Современная теория вероятностей ушла от азартных игр так же далеко, как геометрия от задач землеустройства, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с рулеткой и кубиком, вы научитесь вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать решения не только в играх и лотереях.

Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

В некотором смысле задачи математической статистики обратны задачам теории вероятностей: имея дело только с экспериментально полученными значениями случайных величин, статистика ставит своей целью выдвижение и проверку гипотез о распределении этих случайных величин и оценку параметров их распределения.

1. Случайные события. Как сравнивать события?

Как любой другой раздел математики, теория вероятностей имеет свой понятийный аппарат, который используется при формулировке определений, доказательстве теорем и выводе формул. Рассмотрим понятия, которые будем использовать при дальнейшем изложении теории.

Испытание – осуществление комплекса условий.

Исход испытания (элементарное событие) – любой результат который может произойти при проведении испытания.

Примеры.

1) Испытание:

Исходы испытания: ω 1 – на верхней грани кубика появилось одно очко;

ω 2 – на верхней грани кубика появилось два очка;

ω 3 – на верхней грани кубика появилось три очка;

ω 4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка;

ω 5 – на верхней грани кубика появилось пять очков;

ω 6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков.

Всего возможно 6 исходов испытания (или 6 элементарных события).

2) Испытание: ученик сдает экзамен.

Исходы испытания: ω 1 – ученик получил двойку;

ω 2 – ученик получил тройку;

ω 3 – ученик получил четверку;

ω 4 – ученик получил пятерку.

Всего возможно 4 исхода испытания (или 4 элементарных события).

Замечание . Обозначение ω – является стандартным обозначением для элементарного события, в дальнейшем мы будем пользоваться этим обозначением.

Будем называть исходы данного испытания равновозможными , если исходы испытания имеют одинаковые шансы на появление.

Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий (исходов испытания), которые могут появиться при проведении испытания.

В примерах, которые мы рассмотрели выше, фактически были описаны пространства элементарных событий данных испытаний.

Замечание. Число точек в пространстве элементарных событий (ПЭС), т.е. число элементарных событий в дальнейшем будем обозначать буквой n .

Рассмотрим основное понятие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем.

Определение 1.1. Событием называется совокупность некоторого числа точек ПЭС.

События в дальнейшем мы будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С .

Определение 1.2. Событие, которое может произойти, а может и не произойти при проведении испытания, называется случайным событием.

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; на уроке Вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать и т.п. Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания.

Замечание. Любое элементарное событие так же является случайным событием.

Определение 1.3. Событие, которое происходит при любом исходе испытания, называется достоверным событием.

Определение 1.4. Событие, которое не может произойти ни при каком исходе испытания, называется невозможным событием.

Пример.

1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.

Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;

Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;

Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков;

Событие D: не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7.

События А и В могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания, поэтому это случайные события.

Событие С не может произойти никогда, поэтому оно является невозможным событием.

Событие D происходит при любом исходе испытания, значит это достоверное событие.

Мы говорили, что случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. При этом у одних случайных событий шансов произойти больше (значит, они более вероятные – ближе к достоверным), а у других меньше (они менее вероятные – ближе к невозможным). Поэтому в первом приближении можно определить вероятность, как степень возможности наступления того или иного события.

Понятно, что более вероятные события будут происходить чаще, чем менее вероятные. Так что сравнивать вероятности можно по частоте, с которой события происходят.

Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале следующие события в порядке возрастания вероятности их появления.

Событие А: в следующем году первый снег в Хабаровске выпадет в воскресенье;

Событие В: свалившийся со стола бутерброд упал маслом вниз;

Событие С: при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков;

Событие D: при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков;

Событие Е: при подбрасывании игрального кубика выпало 7 очков;

Событие F: при подбрасывании игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7.

Итак, в начальной точке нашей шкалы расположим невозможные события, так как степень возможности их наступления (вероятность) практически равна 0. Таким образом, это будет событие Е . В конечной точке нашей шкалы расположим достоверные событие – F . Все остальные события являются случайными, попробуем расположить их на шкале в порядке возрастания степени их появления. Для этого мы должны выяснить какие из них менее вероятные, а какие более вероятные. Начнем с события D : когда мы подбрасываем игральный кубик, каждая из 6 граней имеет равные шансы оказаться верхней. Четное число очков – на трёх гранях кубика, на трёх других – нечетное. Значит, ровно половина шансов (3 из 6) за то, что событие D произойдет. Поэтому расположим событие D в середине нашей шкалы.

У события С только один шанс из 6, в то время как у события D – три шанса из 6 (как мы выяснили). Поэтому С менее вероятно и будет расположено на шкале левее события D .

Событие А еще менее вероятно, чем С , ведь в недели 7 дней и в любой из них с равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события А один шанс из 7. Событие А , таким образом, будет расположено еще левее, чем событие С .

Труднее всего расположить на шкале событие В . Здесь нельзя точно подсчитать шансы, но можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо чаще падает на пол именно маслом вниз (есть даже «закон бутерброда»), поэтому событие В гораздо вероятнее, чем D , поэтому на шкале расположим его правее, чем D . Таким образом, получим шкалу:

Е А С D В F

невозможное случайные достоверное

Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая – на ней нет числовых меток, делений. Перед нами встает задача научиться вычислять степень возможности наступления (вероятность) того или иного события.

Квадратный трехчлен - основная функция школьной математики - между прочим, не самая примитивная. Умение использовать предоставляемые им ресурсы для решения задач в большой степени характеризует уровень математического мышления изучающего школьную алгебру. В данной работе дается обоснование этого тезиса и приведены примеры конкретного применения свойств квадратичной функции. Стимулирующим фактором является то обстоятельство, что при решении какой бы то ни было задачи с параметрами рано или поздно приходится (и удается) задачу переформулировать в терминах квадратного трехчлена и решить ее с привлечением свойств этой универсальной функции.

Исследование квадратного трехчлена

Определение . Квадратным трехчленом относительно переменной x называется выражение вида f(x) = ax 2 + bx + c (1), где a, b, cR, a0.

Квадратный трехчлен - обычный многочлен степени 2. Спектр вопросов, формулируемых в терминах квадратного трехчлена, неожиданно оказывается чрезвычайно широким. Поскольку задачи, связанные с исследованием квадратного трехчлена, занимают традиционно почетное и видное место в письменных выпускных школьных и вступительных вузовских экзаменах, очень важно научить школьника (будущего абитуриента) неформальному (то есть творческому) владению разнообразными приемами и методами такого исследования. В данной методической разработке фиксируются основные утверждения о квадратном трехчлене (теорема Виета, расположение корней относительно заданных точек числовой оси, техника обращения с дискриминантом), решаются задачи различных типов и разных уровней сложности. Главный идеологический вывод заключается в том, что в школьной математике существуют насыщенные глубоким содержанием фрагменты, доступные учащемуся и не требующие привлечения средств математического анализа и иных разделов так называемой “высшей математики”.

Графиком трехчлена (1) является парабола; при a 0 - вверх. Расположение параболы относительно оси Ox зависит от значения дискриминанта D = b 2 - 4ac: при D>0 имеются две точки пересечения параболы с осью Ox (два различных действительных корня трехчлена); при D=0 - одна точка (двукратный действительный корень); при D 0 - выше оси Ox). Стандартным приемом является следующее представление трехчлена (с помощью выделения полного квадрата):

f(x) = ax 2 + bx + c = = . Это представление позволяет легко строить график посредством линейных преобразований графика функции y=x 2 ; координаты вершины параболы: .

Это же преобразование позволяет сразу решить простейшую задачу на экстремум: найти наибольшее (при a 0) значение функции (1); экстремальное значение достигается в точке и равно .

Одно из основных суждений о квадратном трехчлене –

Теорема 1 (Виета) . Если x 1 , x 2 - корни трехчлена (1), то

(формулы Виета).

С помощью теоремы Виета можно решать многие задачи, в частности, те, в которых требуется сформулировать условия, определяющие знаки корней. Две следующие теоремы являются непосредственными следствиями теоремы Виета.

Теорема 2 . Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

D = b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 = > 0,

при этом оба корня положительны при x 1 + x 2 = > 0,

и оба корня отрицательны при x 1 + x 2 =

Теорема 3 . Для того, чтобы корни квадратного трехчлена (1) были действительны и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 =

при этом положительный корень имеет больший модуль при x 1 + x 2 = > 0,

и отрицательный корень имеет больший модуль при x 1 + x 2 =

Доказываемые ниже теоремы и следствия эффективно могут (и значит, должны) применяться при решении задач с параметрами.

Теорема 4 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были меньше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат левее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия,

(рис. 1,а и 1,б).

Доказательство .

Необходимость . Если трехчлен (1) имеет действительные корни x 1 и x 2 (может быть, совпадающие), x 1 x 2 и x 1 , (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. По формулам Виета , поэтому , или , ч.т.д.

Достаточность - противоречие с условием. Если же , то (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, откуда , af(M) 0 - вновь противоречие с условием; остается только возможность x 1

Теорема 5 . Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем число M, а другой больше, чем число M, то есть точка M лежала бы в интервале между корнями, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия, af(M)

(рис. 2,а и 2,б).

Доказательство .

Необходимость . Если трехчлен (1) имеет действительные корни x 1 и x 2 , x 1 M , то (x 1 - M)(x 2 - M), поэтому , или af(M)

Достаточность . Пусть af(M) , или , , тогда (x 1 - M)(x 2 - M)0,

x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, откуда , af(M)0 - противоречие с условием; остается только возможность , что и требуется доказать. Теорема доказана.

Теорема 6 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, то есть на числовой прямой корни лежат правее точки M, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

, или, объединяя условия,

(рис. 3,а и 3,б).

Доказательство . Необходимость . Если трехчлен (1) имеет действительные корни x 1 и x 2 (может быть, совпадающие), x 1 x 2 и x 1 > M, x 2 > M , то , (x 1 -M)(x 2 -M)>0, x 1 + x 2 > 2M; иначе x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M , поэтому , или , ч.т.д.

Достаточность . Пусть . Рассуждаем от противного. Предположим, что , , тогда - противоречие с условием. Если же , то (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, откуда , af(M) 0 - вновь противоречие с условием; остается только возможность x 1 > M, x 2 > M, что и требуется доказать. Теорема доказана.

Следствие 1 . Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена (1) были больше, чем число M, но меньше, чем число N (M

, или, объединяя условия,

(рис. 4,а и 4,б).

Следствие 2 . Для того, чтобы только больший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M

, или, объединяя условия,

меньший корень при этом лежит вне отрезка

(рис. 5,а и 5,б).

Следствие 3 . Для того, чтобы только меньший корень квадратного трехчлена (1) принадлежал интервалу (M,N), где M

, или, объединяя условия, ;

больший корень при этом лежит вне отрезка

(рис. 6,а и 6,б).

Следствие 4 . Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена (1) был меньше, чем M, а другой больше, чем N (M

, или, объединяя условия,

(рис. 7,а и 7,б).

Разумеется, аналитическая и геометрическая интерпретации результатов теорем 4-6 и следствий 1-4 эквивалентны, и стратегической целью является выработка навыков точного перевода с одного языка на другой. Особенно важно продемонстрировать, как “визуализация” (“графический взгляд”) помогает безошибочно записать формальные условия, необходимые и достаточные для выполнения требований задачи.

Укажем типичные задачи, решаемые с помощью доказанных теорем (более общо - решаемые на основании свойств квадратного трехчлена).

Задача 1 . Найдите все значения a, при которых уравнения x 2 +ax+1=0 и x 2 +x+a=0 имеют хотя бы один общий корень.

Решение . Оба уравнения имеют в точности одинаковые корни в том и только том случае, если коэффициенты соответствующих квадратных трехчленов совпадают (многочлен второй степени полностью определяется двумя своими корнями и при этом соответственные коэффициенты этих многочленов равны), отсюда получаем a=1. Однако, если учитывать только действительные корни, то при a=1 таковых нет (дискриминант соответствующего трехчлена отрицателен). При a1 рассуждаем так: если x 0 - корень обоих уравнений f(x)=0 и g(x)=0, то x 0 будет корнем уравнения f(x)-g(x)=0 (это только необходимое, но не достаточное условие существования общего корня двух уравнений f(x)=0 и g(x)=0, так как уравнение f(x) - g(x)=0 является их следствием ); вычтем из первого уравнения второе, и получим

(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, откуда, поскольку a1, x=1. Таким образом, если заданные уравнения имеют общий корень, то он равен 1 . Подставим x = 1 в первое уравнение: 1 + a + 1 = 0, и a = -2.

Ответ . a = -2.

Задача 2 . При каких a сумма квадратов корней уравнения x 2 - ax + a – 1 = 0 будет наименьшей?

Решение . По теореме Виета , x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Имеем:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 +x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 и =1 при a=1.

Ответ . a = 1.

Задача 3 . Существуют ли такие a, что корни многочлена f(x)=x 2 +2x+a действительны, различны и оба заключены между -1 и 1?

Решение . Для того, чтобы оба корня x 1 и x 2 трехчлена f(x) были заключены между -1 и 1, необходимо, чтобы между -1 и 1 было заключено среднее арифметическое этих корней: ; но, по теореме Виета , , поэтому

Ответ . Нет.

Задача 4 . При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения x 2 +(2a+6)x + 4a + 12 = 0 действительны и оба больше -1?

Решение . Теорема 6 дает:

, , , .

Ответ . .

Задача 5 . При каких значениях параметра a оба корня квадратного уравнения x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 действительны и оба меньше -1?

Решение . Теорема 4 дает:

, , , a>1.

Ответ . a > 1.

Задача 6 . При каких значениях параметра a один корень квадратного уравнения f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 больше 3, а другой меньше 2?

Решение . Заметим сразу, что a2 (иначе уравнение имело бы только один корень). Применим следствие 4 (здесь M=2, N=3):

, , , 2

Ответ . a(2;5).

оба корня отрицательны при (теорема 4 ) - эта система решений не имеет; корни имеют разные знаки при (a-1)(a+5) теорема 5), то есть -5

Ответ .

Изучение многих физических и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса алгебры рассматривается только на немногочисленных факультативных или предметных курсах.
На мой взгляд, функционально-графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений с параметром.
Как известно, в отношении уравнений с параметрами встречаются две постановки задачи.

1. Решить уравнение (для каждого значения параметра найти все решения уравнения).
2. Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

В данной работе рассматривается и исследуется задача второго типа применительно к корням квадратного трехчлена, нахождение которых сводится к решению квадратного уравнения.
Автор надеется, что данная работа поможет учителям при разработке уроков и при подготовке учащихся к ЕГЭ.

1. Что такое параметр

Выражение вида aх 2 + bх + c в школьном курсе алгебры называют квадратным трехчленом относительно х, где a, b, c – заданные действительные числа, причем, a =/= 0. Значения переменной х, при которых выражение обращается в нуль, называют корнями квадратного трехчлена. Для нахождения корней квадратного трехчлена, необходимо решить квадратное уравнение aх 2 + bх + c = 0.
Вспомним из школьного курса алгебры основные уравнения aх + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. При поиске их корней, значения переменных a, b, c, входящих в уравнение считаются фиксированными и заданными. Сами переменные называют параметром. Поскольку, в школьных учебниках нет определения параметра, я предлагаю взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

2. Основные типы и методы решения задач с параметрами

Среди задач с параметрами можно выделить следующие основные типы задач.

1. Уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Например. Решить уравнения: aх = 1, (a – 2)х = a 2 – 4.
2. Уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров). Например. При каких значениях параметра a уравнение 4х 2 – 4 aх + 1 = 0 имеет единственный корень?
3. Уравнения, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых корни уравнения (a – 2)х 2 – 2aх + a + 3 = 0 положительные.
Основные способы решения задач с параметром: аналитический и графический.

Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача № 1

При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)?

Решение

х 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0.
По условию задачи уравнение должно иметь два различных корня, а это возможно лишь при условии: Д > 0.
Имеем: Д = 4a 2 – 2(а 2 – 1) = 4. Как видим дискриминант не зависит от а, следовательно, уравнение имеет два различных корня при любых значениях параметра а. Найдем корни уравнения: х 1 = а + 1, х 2 = а – 1
Корни уравнения должны принадлежать промежутку (1; 5), т.е.
Итак, при 2 < а < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Ответ: 2 < а < 4.
Такой подход к решению задач рассматриваемого типа возможен и рационален в тех случаях, когда дискриминант квадратного уравнения «хороший», т.е. является точным квадратом какого либо числа или выражения или корни уравнения можно найти по теореме обратной т.Виета. Тогда, и корни не представляют собой иррациональных выражений. В противном случае решения задач такого типа сопряжено с достаточно сложными процедурами с технической точки зрения. Да и решение иррациональных неравенств требует от ученика новых знаний.

Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х;у) или (х;а). Наглядность и красота такого способа решения помогает найти быстрый путь решения задачи. Решим задачу № 1 графическим способом.
Как известно из курса алгебры корни квадратного уравнения (квадратного трехчлена) являются нулями соответствующей квадратичной функции: У = х 2 – 2ах + а 2 – 1. Графиком функции является парабола, ветви направлены вверх (первый коэффициент равен 1). Геометрическая модель, отвечающая всем требованиям задачи, выглядит так.

Теперь осталось «зафиксировать» параболу в нужном положении необходимыми условиями.

1. Так как парабола имеет две точки пересечения с осью х , то Д > 0.
2. Вершина параболы находится между вертикальными прямыми х = 1 и х = 5, следовательно абсцисса вершины параболы х о принадлежит промежутку (1; 5), т.е.
   1 <х о < 5.
3. Замечаем, что у (1) > 0, у (5) > 0.

Итак, переходя от геометрической модели задачи к аналитической, получаем систему неравенств.

Ответ: 2 < а < 4.

Как видно из примера, графический способ решения задач рассматриваемого типа возможен в случае, когда корни «нехорошие», т.е. содержат параметр под знаком радикала (в этом случае дискриминант уравнения не является полным квадратом).
Во втором способе решения мы работали с коэффициентами уравнения и областью значения функции у = х 2 – 2ах + а 2 – 1.
Такой способ решения нельзя назвать только графическим, т.к. здесь приходится решать систему неравенств. Скорее этот способ комбинированный: функционально-графический. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств.
Итак, мы рассмотрели задачу, в которой корни квадратного трехчлена удовлетворяют заданным условиям в области определения при искомых значениях параметра.

А каким еще возможным условиям могут удовлетворять корни квадратного трехчлена при искомых значениях параметра?

При каком значении параметра a один корень уравнения

больше 1, а другой меньше 1?

Рассмотрим функцию -

Цель работы:

• Исследование всевозможных особенностей расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки и относительно заданного отрезка на основе свойств квадратичной функции и графических интерпретаций.
• Применение изученных свойств при решении нестандартных задач с параметром.

Задачи:

• Изучить различные приемы решения задач на основе исследования расположения корней квадратного трехчлена графическим методом.
• Обосновать всевозможные особенности расположения корней квадратного трехчлена, разработать теоретические рекомендации для решения нестандартных задач с параметром.
• Овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений, научится их использовать при решении задач.

Гипотеза:

Использование графического метода в нетрадиционных задачах с параметром упрощает математические выкладки и является рациональным способом решения.

тогда и только тогда:

1. Оба корня меньше числа А,

2. Корни лежат по разные стороны от числа А,

тогда и только тогда:

• тогда и только тогда:

тогда и только тогда:

3. Оба корня больше числа А, то есть

Найти все значения параметра а, для которых один корень уравнения

больше 1, а другой меньше 1.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных корня одного знака?

-6

-2

3

a

1. Оба корня лежат между точками A и B , то есть

тогда и только тогда:

2. Корни лежат по разные стороны от отрезка

тогда и только тогда:

3. Один корень лежит вне отрезка, а другой на нем, то есть

тогда и только тогда:

Исследуйте уравнение

на количество корней в зависимости от параметра.

уравнение не имеет решений.

имеет одно решение.

Исследуйте уравнение

на количество корней в

зависимости от параметра.

Если один корень лежит на отрезке, а другой слева от него.

Если один корень лежит на отрезке, а другой справа от него.

первоначальное уравнение будет иметь два различных корня.

при которых

уравнение имеет три различных корня.

Ответ: при

при которых

первоначальное уравнение будет иметь два

различных корня.

уравнение имеет четыре различных корня.