1.Определение колебательного движения

Колебательное движение - это движение, точно или приблизительно повторяющееся через одинаковые промежутки времени. Учение о колебательном движении в физике выделяют особо. Это обусловлено общностью закономерностей колебательного движения различной природы и методов его исследования. Механические, акустические, электромагнитные колебания и волны рассматриваются с единой точки зрения. Колебательное движение свойственно всем явлениям природы. Внутри любого живого организма непрерывно происходят ритмично повторяющиеся процессы, например биение сердца.

Механические колебания Колебания - это любой физический процесс, характери­зующийся повторяемостью во времени.

Волнение моря, качание маятника часов, вибрации корпуса корабля, биение человеческого сердца, звук, радиоволны, свет, переменные токи - все это коле­бания.

В процессе колебаний значения физических величин, опреде­ляющих состояние системы, через равные или неравные проме­жутки времени повторяются. Колебания называются периодическими , если значения изме­няющихся физических величин повторяются через равные проме­жутки времени.

Наименьший промежуток времени Т, черезкото­рый значение изменяющейся физической величины повторяется (по величине и направлению, если эта величина векторная, по величине и знаку, если она скалярная), называетсяпериодом колебаний.

Число полных колебаний n , совершаемых за единицу времени, называется частотой колебаний этой величины и обозначается через ν . Период и частота колебаний связаны соотноше­нием:

Любое колебание обусловлено тем или иным воздействием на колеблющуюся систему. В зависимости от характера воздействия, вызывающего колебания, различают следующие виды периодических колебаний: свободные, вынужденные, автоколебания, параметри­ческие.

Свободные колебания - это колебания, происходящие в систе­ме, предоставленной самой себе, после выведения ее из состояния устойчивого равновесия (например, колебания груза на пружине).

Вынужденные колебания - это колебания, обусловленные внешним периодическим воздействием (например, электромагнит­ные колебания в антенне телевизора).

Механические колебания

Автоколебания - свободные колебания, поддерживаемые внеш­ним источником энергии, включение которого в нужные моменты времени осуществляет сама колеблющаяся система (например, колебания маятника часов).

Параметрические колебания - это колебания, в процессе которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы (например, раскачивание качелей: приседая в крайних положениях и выпрямляясь в среднем положении, человек, находящийся на качелях, изменяет момент инерции качелей).

Различные по своей природе колебания обнаруживают много общего: они подчиняются одним и тем же закономерностям, описываются одними и теми же уравнениями, исследуются одними и теми же методами. Это дает возможность создать единую теорию колебаний.

Простейшими из периодических колебаний

являются гармонические колебания.

Гармонические колебания- это колебания, в процессе совершения которых значения физических величин изменяются с течением времени по закону синуса или косинуса. Большинство колебательных процессов описываются этим законом или может быть приставлено в виде суммы гармонических колебаний.

Возможно и другое «динамическое» определение гармонических колебании как процесса, совершаемого под действием упругой или «квазиупругой»

2. Периодическими называются колебания, при которых происходит точное повторение процесса через равные промежутки времени.

Периодом периодических колебаний называется минимальное время, через которое система возвращается в первоначальное

х - колеблющаяся величина (например, сила тока в цепи, состояние и начинается повторение процесса. Процесс, происходящий за один период колебаний, называется «одно полное колебание».

периодических колебаний называется число полных колебаний за единицу времени (1 секунду) - это может быть не целое число.

Т - период колебаний Период - время одного полного колебания.

Чтобы вычислить частоту v, надо разделить 1 секунду на время Т одного колебания (в секундах) и получится число колебаний за 1 секунду или координата точки) t - время

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, каксила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия - достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

1. Движение называется колебательным, если при движении происходит частичная или полная повторяемость состояния системы по времени. Если значения физических величин, характеризующих данное колебательное движение, повторяются через равные промежутки времени, колебания называют периодическими.

2. Что такое период колебаний? Что такое частота колебаний? Какова связь между ними?

2. Периодом называют время, в течение которого совершается одно полное колебание. Частота колебаний - число колебаний в единицу времени. Частота колебаний обратно пропорциональна периоду колебаний.

3. Система колеблется с частотой 1 Гц. Чему равен период колебания?

4. В каких точках траектории колеблющегося тела скорость равна нулю? Ускорение равно нулю?

4. В точках максимального отклонения от положения равновесия скорость равна нулю. Ускорение равно нулю в точках равновесия.

5. Какие величины, характеризующие колебательное движение, изменяются периодически?

5. Скорость, ускорение и координата в колебательном движении изменяются периодически.

6. Что можно сказать о силе, которая должна действовать в колебательной системе, чтобы она совершала гармонические колебания?

6. Сила должна изменяться с течением времени по гармоническому закону. Эта сила должна быть пропорциональна смещению и направлена противоположно смещению к положению равновесия.

– это один из частных случаев неравномерного движения. Примеров колебательного движения в жизни много: это и качание качелей, и раскачивание маршрутки на рессорах, и движение поршней в двигателе… Эти движения различаются, но у них есть общее свойство: раз в некоторое время движение повторяется.

Это время называется периодом колебаний .

Рассмотрим один из простейших примеров колебательного движения – пружинный маятник. Пружинный маятник – это пружина, соединённая одним концом с неподвижной стеной, а другим – с подвижным грузом. Для простоты будем считать, что груз может двигаться только вдоль оси пружины. Это реалистичное допущение – в реальных упругих механизмах обычно груз движется вдоль направляющей.

Если маятник не колеблется, и на него не действуют никакие силы, то он находится в положении равновесия. Если его отвести от этого положения и отпустить, то маятник станет колебаться – он будет проскакивать точку равновесия на максимальной скорости и замирать в крайних точках. Расстояние от точки равновесия до крайней точки называется амплитудой , периодом в данной ситуации будет минимальное время между посещениями одной и той же крайней точки.

Когда маятник находится в крайней точке, на него действует сила упругости, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия. Она убывает по мере приближения к равновесию, и в равновесной точке становится равна нулю. Но маятник уже набрал скорость и проскакивает точку равновесия, и сила упругости начинает его тормозить.

В крайних точках у маятника максимальная потенциальная энергия, в точке равновесия – максимальная кинетическая.

В реальной жизни колебания обычно затухают, так как есть сопротивления среды. В таком случает от колебания к колебанию амплитуда уменьшается. Такие колебания называются затухающими .

Если же затухания нет, и колебания происходят из-за начального запаса энергии, то они называются свободными колебаниями .

Тела, участвующие в колебании, и без которых колебания были бы невозможными, вместе называются колебательной системой . В нашем случае колебательная система состоит из грузика, пружины и неподвижной стены. Вообще, колебательной системой можно назвать любую группу тел, способных к свободным колебаниям, то есть таких, в которых при отклонениях появляются силы, возвращающие систему к равновесию.

Тема данного урока: «Колебательное движение. Свободные колебания. Колебательные системы». Вначале дадим определение нового вида движения, который мы начинаем изучать, - колебательного движения. Рассмотрим в качестве примера колебания пружинного маятника и определим понятие свободных колебаний. Также изучим, что такое колебательные системы, и обсудим условия, необходимые для существования колебаний.

Колебание - это периодическое изменение любой физической величины: колебания температуры, колебания цвета светофора и т. д. (рис. 1).

Рис. 1. Примеры колебаний

Колебания - самый распространенный вид движения в природе. Если касаться вопросов, связанных с механическим движением, то это самый распространенный вид механического движения. Обычно говорят так: движение, которое с течением времени полностью или частично повторяется, называется колебанием . Механические колебания - это периодические изменение физических величин, характеризующих механическое движение: положения тела, скорости, ускорения.

Примеры колебаний: колебание качелей, шевеление листьев и качание деревьев под воздействием ветра, маятник в часах, движение человеческого тела.

Рис. 2. Примеры колебаний

Наиболее распространенными механическими колебательными системами являются:

• Грузик, закрепленный на пружине - пружинный маятник . Сообщая маятнику начальную скорость, его выводят из состояния равновесия. Маятник совершает колебания вверх-вниз. Для совершения колебаний в пружинном маятнике имеет значение количество пружин и их жесткость.

Рис. 3. Пружинный маятник

• Математический маятник - твердое тело, подвешенное на длинной нити, совершающее колебание в поле тяготения Земли.

Рис. 4. Математический маятник

Условия существования колебаний

• Наличие колебательной системы. Колебательная система - это система, в которой могут существовать колебания.

Рис. 5. Примеры колебательных систем

• Точка устойчивого равновесия. Именно вокруг этой точки и совершаются колебания.

Рис. 6. Точка равновесия

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Устойчивое: когда система стремится вернуться в первоначальное положение при малом внешнем воздействии. Именно наличие устойчивого равновесия является важным условием того, что в системе могут происходить колебания.

• Запасы энергии, которые приводят к тому, что совершаются колебания. Ведь колебания сами по себе не могут совершаться, мы должны вывести систему из равновесия, чтобы происходили эти колебания. То есть сообщить энергию этой системе, чтобы потом колебательная энергия превращалась в то движение, которое мы рассматриваем.

Рис. 7 Запасы энергии

• Малое значение сил трения. Если эти силы будут большими, то о колебаниях речи идти не может.

Решение главной задачи механики в случае колебаний

Механические колебания - это один из видов механического движения. Главная задача механики - это определение положения тела в любой момент времени. Получим закон зависимости для механических колебаний.

Закон, который необходимо найти, мы постараемся угадать, а не вывести математически, потому что уровня знаний девятого класса недостаточно для строгих математических выкладок. В физике очень часто пользуются таким методом. Сначала пытаются предсказать справедливое решение, а потом его доказывают.

Колебания - это периодический или почти периодический процесс. Это значит, что закон - периодическая функция. В математике периодическими функциями являются или .

Закон не будет являться решением главной задачи механики, так как - безразмерная величина, а единицы измерения - метры. Усовершенствуем формулу, добавив перед синусом множитель, соответствующий максимальному отклонению от положения равновесия - амплитудное значение: . Обратите внимание, что единицами измерения времени являются секунды. Подумайте, что значит, например, ? Данное выражение не имеет смысла. Выражение под синусом должно измеряться в градусах или радианах. В радианах измеряется такая физическая величина, как фаза колебания - произведение циклической частоты и времени.

Свободные гармонические колебания описывает закон:

Используя это уравнение, можно найти положение колеблющегося тела в любой момент времени.

Энергия и равновесие

Исследуя механические колебания, особый интерес следует уделять понятию положения равновесия - необходимому условию наличия колебаний.

Существует три типа положений равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

На рисунке 8 изображен шарик, который находится в сферическом желобе. Если вывести шарик из положения равновесия, на него будут действовать следующие силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила реакции опоры , направленная перпендикулярно касательной по радиусу. Векторная сумма этих двух сил будет равнодействующей, которая направлена обратно к положению равновесия. То есть шарик будет стремится вернуться в положение равновесия. Такое положение равновесия называется устойчивым .

Рис. 8. Устойчивое равновесие

Положим шарик на выпуклый сферический желоб и немного выведем его из положения равновесия (рис. 9). Сила тяжести по-прежнему направлена вертикально вниз, сила реакции опоры по-прежнему перпендикулярна касательной. Но теперь равнодействующая сила направлена в сторону, противоположную начальному положению тела. Шарик будет стремится скатиться вниз. Такое положение равновесия называется неустойчивым .

Рис. 9. Неустойчивое равновесие

На рисунке 10 шарик находится на горизонтальной плоскости. Равнодействующая двух сил в любой точке на плоскости будет одинаковой. Такое положение равновесия называется безразличным .

Рис. 10. Безразличное равновесие

При устойчивом и неустойчивом равновесии шарик стремится занять такое положение, в котором его потенциальная энергия будет минимальной .

Всякая механическая система стремится самопроизвольно занять такое положение, в котором ее потенциальная энергия будет минимальной. Например, нам комфортнее лежать, чем стоять.

Итак, необходимо дополнить условие существования колебаний тем, что равновесие обязательно должно быть устойчивым.

Если данному маятнику, колебательной системе сообщили энергию, то колебания, происходящие в результате такого действия, будут называться свободными . Более распространенное определение: свободными называют колебания , которые происходят только под действием внутренних сил системы.

Свободные колебания еще называют собственными колебаниями данной колебательной системы, данного маятника. Свободные колебания являются затухающими. Они рано или поздно затухают, так как действует сила трения. В данном случае она хоть и малая величина, но не нулевая. Если никакая дополнительная сила не вынуждает двигаться тело, колебания прекращаются.

Уравнение зависимости скорости и ускорения от времени

Для того чтобы понять, меняются ли скорость и ускорение при колебаниях, обратимся к математическому маятнику.

Маятник вывели из положения равновесия, и он начинает совершать колебания. В крайних точках колебания скорость меняет свое направление, причем в точке равновесия скорость максимальная. Если меняется скорость, значит, у тела есть ускорение. Будет ли такое движение равноускоренным? Конечно, нет, так по мере увеличения (уменьшения) скорости меняется и ее направление. Это значит, что ускорение также будет меняться. Наша задача - получить законы, по которым будут меняться проекция скорости и проекция ускорения со временем.

Координата со временем меняется по гармоническому закону, по закону синуса или косинуса. Логично предположить, что скорость и ускорение также будут меняться по гармоническому закону.

Закон изменения координаты:

Закон, по которому будет меняться проекция скорости со временем:

Данный закон также является гармоническим, но если координата меняется со временем по закону синуса, то проекция скорости - по закону косинуса. Координата в положении равновесия равна нулю, скорость же в положении равновесия максимальная. И наоборот, там, где координата максимальная, скорость равна нулю.

Закон, по которому будет меняться проекция ускорения со временем:

Знак минус появляется, поскольку при приращении координаты возвращающая сила направлена в противоположную сторону. По второму закону Ньютона, ускорение направлено туда же, куда и результирующая сила. Итак, если координата растет, ускорение растет по модулю, но противоположно по направлению, и наоборот, о чем и говорит знак минус в уравнении.

Список литературы

1. Кикоин А.К. О законе колебательного движения // Квант. - 1983. - № 9. - С. 30-31.
2. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика: учеб. для 9 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 191 с.
3. Черноуцан А.И. Гармонические колебания - обычные и удивительные // Квант. - 1991. - № 9. - С. 36-38.
4. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. - 2-е издание, передел. - X.: Веста: издательство «Ранок», 2005. - 464 с.

1. Интернет-портал «youtube.com» ()
2. Интернет-портал «eduspb.com» ()
3. Интернет-портал «physics.ru» ()
4. Интернет-портал «its-physics.org» ()

Домашнее задание

1. Что такое свободные колебания? Приведите несколько примеров таких колебаний.
2. Вычислите частоту свободных колебаний маятника, если длина его нити 2 м. Определите, сколько времени будут длиться 5 колебаний такого маятника.
3. Чему равен период свободных колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины 50 Н/м, а масса груза 100 г?