Разделы сайта
Выбор редакции:
- Крейсер "красный крым" черноморского флота
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
Реклама
Решить однородное уравнение. Однородные уравнения. Исчерпывающий гид (2019) |
Функция f(x,y) называется однородной функцией своих аргументов измерения n , если справедливо тождество f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y) . Например, функция f(x,y)=x^2+y^2-xy есть однородная функция второго измерения, так как F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y). При n=0 имеем функцию нулевого измерения. Например, \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} есть однородная функция нулевого измерения, так как {f(tx,ty)=\frac{(tx)^2-(ty)^2}{(tx)^2+(ty)^2}=\frac{t^2(x^2-y^2)}{t^2(x^2+y^2)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=f(x,y).} Дифференциальное уравнение вида \frac{dy}{dx}=f(x,y) называется однородным относительно x и y , если f(x,y) есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде \frac{dy}{dx}=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right). Вводя новую искомую функцию u=\frac{y}{x} , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными: X\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u. Если u=u_0 есть корень уравнения \varphi(u)-u=0 , то решение однородного уравнения будет u=u_0 или y=u_0x (прямая, проходящая через начало координат). Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку y=ux . Пример 1. Решить однородное уравнение xy"=\sqrt{x^2-y^2}+y . Решение. Запишем уравнение в виде y"=\sqrt{1-{\left(\frac{y}{x}\right)\!}^2}+\frac{y}{x} так что данное уравнение оказывается однородным относительно x и y . Положим u=\frac{y}{x} , или y=ux . Тогда y"=xu"+u . Подставляя в уравнение выражения для y и y" , получаем x\frac{du}{dx}=\sqrt{1-u^2} . Разделяем переменные: \frac{du}{1-u^2}=\frac{dx}{x} . Отсюда интегрированием находим \arcsin{u}=\ln|x|+\ln{C_1}~(C_1>0) , или \arcsin{u}=\ln{C_1|x|} . Так как C_1|x|=\pm{C_1x} , то, обозначая \pm{C_1}=C , получаем \arcsin{u}=\ln{Cx} , где |\ln{Cx}|\leqslant\frac{\pi}{2} или e^{-\pi/2}\leqslant{Cx}\leqslant{e^{\pi/2}} . Заменяя u на \frac{y}{x} , будем иметь общий интеграл \arcsin{y}{x}=\ln{Cx} . Отсюда общее решение: y=x\sin\ln{Cx} . При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение x\sqrt{1-u^2} , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение. Положим теперь x=0 и \sqrt{1-u^2}=0 . Но x\ne0 в силу подстановки u=\frac{y}{x} , а из соотношения \sqrt{1-u^2}=0 получаем, что 1-\frac{y^2}{x^2}=0 , откуда y=\pm{x} . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции y=-x и y=x также являются решениями данного уравнения. Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых C_\alpha однородного уравнения y"=\varphi\!\left(\frac{y}{x}\right) . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой. Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых C_\alpha , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат. Решение. По определению соответственных точек имеем \frac{y}{x}=\frac{y_1}{x_1} , так что в силу самого уравнения y"=y"_1 , где y" и y"_1 - угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым C_\alpha и C_{\alpha_1} , в точках M и M_1 соответственно (рис. 12). Уравнения, приводящиеся к однороднымА. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида \frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}\right). где a,b,c,a_1,b_1,c_1 - постоянные, а f(u) - непрерывная функция своего аргумента u . Если c=c_1=0 , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше. Если хотя бы одно из чисел c,c_1 отлично от нуля, то следует различать два случая. 1) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}\ne0 . Вводя новые переменные \xi и \eta по формулам x=\xi+h,~y=\eta+k , где h и k - пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду \frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta+ah+bk+c}{a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1}\right). Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений \begin{cases}ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end{cases}~(\Delta\ne0), получаем однородное уравнение \frac{d\eta}{d\xi}=f\!\left(\frac{a\xi+b\eta}{a_1\xi+b_1\eta}\right) . Найдя его общий интеграл и заменив в нем \xi на x-h , a \eta на y-k , получаем общий интеграл уравнения (3). 2) Определитель \Delta=\begin{vmatrix}a&b\\a_1&b_1\end{vmatrix}=0 . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае \frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}=\lambda , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид \frac{dy}{dx}=f\!\left(\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_1}\right) . Подстановка z=ax+by приводит его к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 3. Решить уравнение (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0 . Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end{cases} Определитель этой системы \Delta=\begin{vmatrix}\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end{vmatrix}=-2\ne0 . Система имеет единственное решение x_0=-1,~y_0=3 . Делаем замену x=\xi-1,~y=\eta+3 . Тогда уравнение (5) примет вид (\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0. Это уравнение является однородным уравнением. Полагая \eta=u\xi , получаем (\xi+\xi{u})\,d\xi+(\xi-\xi{u})(\xi\,du+u\,d\xi)=0 , откуда (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0 . Разделяем переменные \frac{d\xi}{\xi}+\frac{1-u}{1+2u-u^2}\,du=0. Интегрируя, найдем \ln|\xi|+\frac{1}{2}\ln|1+2u-u^2|=\ln{C} или \xi^2(1+2u-u^2)=C . Возвращаемся к переменным x,~y : (x+1)^2\left=C_1 или x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14). Пример 4. Решить уравнение (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0 . Решение. Система линейных алгебраических уравнений \begin{cases}x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end{cases} несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку x+y=z , dy=dz-dx . Уравнение примет вид (2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0. Разделяя переменные, получаем Dx-\frac{2z-1}{z-2}\,dz=0 отсюда x-2z-3\ln|z-2|=C. Возвращаясь к переменным x,~y , получаем общий интеграл данного уравнения X+2y+3\ln|x+y-2|=C. Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного y=z^\alpha . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному x приписать измерение 1, переменному y - измерение \alpha и производной \frac{dy}{dx} - измерение \alpha-1 . Пример 5. Решить уравнение (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0 . Решение. Делаем подстановку y=z^\alpha,~dy=\alpha{z^{\alpha-1}}\,dz , где \alpha пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для y и dy , получим \alpha(x^2x^{2\alpha}-1)z^{\alpha-1}\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0 или \alpha(x^2z^{3\alpha-1}-z^{\alpha-1})\,dz+2xz^{3\alpha}\,dx=0, Заметим, что x^2z^{3\alpha-1} имеет измерение 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^{\alpha-1} имеет измерение \alpha-1 , xz^{3\alpha} имеет измерение 1+3\alpha . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие 3\alpha+1=\alpha-1 , или \alpha-1 . Положим y=\frac{1}{z} ; исходное уравнение принимает вид \left(\frac{1}{z^2}-\frac{x^2}{z^4}\right)dz+\frac{2x}{z^3}\,dx=0 или (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0. Положим теперь z=ux,~dz=u\,dx+x\,du . Тогда это уравнение примет вид (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0 , откуда u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0 . Разделяем переменные в этом уравнении \frac{dx}{x}+\frac{u^2-1}{u^3+u}\,du=0 . Интегрируя, найдем \ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln{C} или \frac{x(u^2+1)}{u}=C. Заменяя u через \frac{1}{xy} , получаем общий интеграл данного уравнения 1+x^2y^2=Cy. Уравнение имеет еще очевидное решение y=0 , которое получается из общего интеграла при C\to\infty , если интеграл записать в виде y=\frac{1+x^2y^2}{C} , а затем перейти к пределу при C\to\infty . Таким образом, функция y=0 является частным решением исходного уравнения. В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
- это уравнение вида Как определить однородное дифференциальное уравнениеДля того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t
и заменить y
на ty
и x
на tx
:
y → ty
,
x → tx
.
Если t
сократится, то это однородное дифференциальное уравнение
. Производная y′
при таком преобразовании не меняется. ПримерОпределить, является ли данное уравнение однородным РешениеДелаем замену y → ty
,
x → tx
.
.
Метод решения однородного дифференциального уравненияОднородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux
.
Покажем это. Рассмотрим уравнение: При f(u)
- u ≠ 0
и x ≠ 0
получаем: Далее следует рассмотреть случай f(u)
- u = 0
.
Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y) , то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0 . Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядкаРешить уравнениеРешениеПроверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty
,
x → tx
.
При этом y′ → y′
.
Делаем подстановку y = ux
,
где u
- функция от x
.
При u 2 - 1 ≠ 0
имеем: Применим формулу: Таким образом имеем: Теперь рассмотрим случай, u 2 - 1 = 0
. Ответ,
Использованная литература: Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения
первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал. Схема решения однородного дифференциального уравнения1.
Сначала нужно применить подстановку y=z*x
, где z=z(x)
– новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядкаПример 1. Решение:
Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0
порядка
Пример 2.
Найти интеграл дифференциального уравнения
Пример 3.
Решить дифференциальное уравнение
Например, функция
- однородная функция третьего измерения, так как - однородная функция нулевого измерения, так как ,
т.е. Определение 2. Дифференциальное уравнение первого порядкаy " = f (x , y ) называется однородным, если функцияf (x , y ) есть однородная функция нулевого измерения относительноx иy , или, как говорят,f (x , y ) – однородная функция степени нуль. Его можно представить в виде что позволяет определить однородное уравнение как такое дифференциальное, которое можно преобразовать к виду (3.3). Замена
Пример 1.Решить уравнение.Δ Полагаем у =
zx
,
Заменяя z
на,
получим Пример 2. Найти общее решение уравнения. Δ В данном уравнении P
(x
,y
)
=x
2 -2y
2 ,Q
(x
,y
)
=2xy
– однородные
функции второго измерения, следовательно,
данное уравнение является однородным.
Его можно представить в виде dx +2 zxdz = 0 . Разделяем переменные, считая
. Интегрируем почленно это уравнение ,
откуда то есть
Пример 3
.
Найти общее
решение уравнения Δ
Цепочка преобразований:
,y
=
zx
, Лекция 8. 4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет видЗдесь – свободный член, называемый также правой частью уравнения. В этом виде будем рассматривать линейное уравнение в дальнейшем. Если
и называется линейным однородным. Название уравнения (4.1а) объясняется тем, что неизвестная функция y и её производнаявходят в него линейно, т.е. в первой степени. В линейном однородном уравнении
переменные разделяются. Переписав его
в виде
При делении на
теряем решение Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли , решение ищется в виде произведения двух функций отх : Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а). Дифференцируя обе части равенства
(4.4), находим
Подставляя полученное выражение
производной
,
а также значениеу
в уравнение (4.1а), получаем т.е. в качестве функции v возьмём решение однородного линейного уравнения (4.6): (Здесь C писать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение). Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки (4.4) уравнение (4.1а) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными (4.6) и (4.7). Подставляя
,
Пример 1.
Найти общее решение
уравнения Положим
Приравняем нулю коэффициент при
: Разделяя переменные в полученном
уравнении, имеем
, Следовательно,
Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде: . Произвольно выбирая функцию u
,
а неv
, мы могли полагать На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка. Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если у считать независимой переменной, аx – зависимой, т.е. поменять ролиx иy . Это можно сделать при условии, чтоx иdx входят в уравнение линейно. Пример 2
.
Решить уравнение
По виду это уравнение не является линейным относительно функции у . Однако если рассматривать x
как функцию оту
, то, учитывая, что
Заменив
на,получим , или Здесь P(y)=, или Выберем vтак, чтобы Т.к.
. Отметим, что в уравнение (4.1а) P (x ) иQ (x ) могут входить не только в виде функций от x , но и констант:P = a ,Q = b . Линейное уравнение можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных: ; Отсюда
(здесь При b = 0 приходим к решению уравнения (см. уравнение показательного роста
(2.4) при
Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение (4.2). Как указано выше, его решение имеет вид (4.3). Будем считать сомножитель С в (4.3) функцией отх , т.е. по существу делаем замену переменной откуда, интегрируя, находим Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)). При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14). Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1 : . Интегрируем соответствующее однородное
уравнение
Разделяя переменные, получаем
. В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли
которое можно записать в виде
Заменой
, Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами. Пример 3
.
Найти общее
решения уравнения Цепочка преобразований:
|
Читайте: |
---|
Новое
- «31 спорный вопрос» русской истории: житие императора Николая II
- Лечебные свойства корня лопуха и его широкое применение в домашних условиях
- Природные ресурсы западной сибири
- Совместимость петуха и змеи в любовных отношениях и браке Он петух она змея совместимость
- Чемерица черная: прекрасная и опасная Противопоказания и побочные действия
- Чем интересна Свято-Михайло-Афонская Закубанская пустынь?
- Порционная сельдь под шубой на праздничный стол
- К чему снится шить во сне
- Примета — разбить зеркало случайно: что делать, если оно треснуло
- Самостоятельные заговоры на удачу и деньги